Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

Рис.1.7.2

В системе координат Oxyz рассмотрим плоскость α (рис.1.7.2). Ее положение определяется заданием вектора `N, перпендикулярного этой плоскости, и фиксированной точки M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) лежащей в этой плоскости.

Вектор `N = (A; B; C), перпендикулярный плоскости α, называется

нормальным вектором (вектором-нормалью)

0

Рассмотрим произвольную точку M (x; y; z) плоскости α. Вектор M M,

лежащий в  плоскости  α, будет перпендикулярен вектору-нормали `N.

Используя условие ортогональности векторов уравнение:

 

Уравнение

 

N × M 0 M = 0,

получим

 

 

A (x – x 0) + B (y – y 0) + C (z – z 0) = 0

(1.7.1)

 

Называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Если в уравнении (1.6.1) раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, то получим уравнение Ax + By + Cz + (– A x ₀ – By ₀ – Cz ₀) = 0 или Ax + By + Cz + D = 0, где D = – A x ₀ – By ₀ – Cz ₀.

Общее уравнение плоскости

Уравнение

 

Ax + By + Cz + D = 0

(1.7.2 )

 

называется   общим  уравнением  плоскости,  здесь   ` N   =  (A;   B;   C) – нормальный вектор.

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

 

Рис.1.7.3	Рис1.7.4	Рис.1.7.5	Рис.1.7.6

 

1) Пусть D = 0. Уравнение имеет вид: Ax + By + Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат.

Ее нормальный вектор N = (A, B, C).

2) С = 0: Ax + By + D = 0 Нормальный вектор этой плоскости ` N = (A, B, 0)

перпендикулярен оси Oz Þ плоскость параллельна оси Oz (рис.1.7.3)

3) B = 0: Ax + Cz + D = 0 Þ ` N = (A, 0, C) ^ Oy,

плоскость параллельна оси Oy (рис. 1.7.4)

4) A = 0: By + Cz + D = 0 Þ ` N = (0; B; C) ^ Ox, плоскость параллельна оси

Ox (рис. 5)

5) C = D = 0: Ax + By = 0 Þ ` N = (A, B, 0)

ось Oz (рис. 1.7.6)

^ Oz, плоскость проходит через

Рис.1.7.7	Рис.1.7.8	Рис.1.7.9

 

 

6) B = D = 0: Ax + Cz = 0 Þ ` N = (A; 0; C) ^ Oy, плоскость проходит через ось Oy (рис. 1.7.7)

7) A = D = 0: By + Cz = 0 Þ ` N = (0; B; C) ^ Ox, плоскость проходит через ось Ox (рис. 1.7.8)

8) A = B = 0: Cz + D = 0 Þ ` N = (0; 0; C) || Oz, плоскость параллельна плоскости Oxy (рис. 1.7.9)

 

 

 

Рис.1.7.10

Рис.1.7.11

 

 

8) B = C = 0: Ax + D = 0 Þ `N = (A; 0; 0) || Ox, плоскость параллельна плоскости Oyz (рис. 1.7.10)

8) A = C = 0: By + D = 0 Þ `N = (0; B; 0) || Oy, плоскость параллельна плоскости Oxz (рис. 1.7.11)

 

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку M ₀(1; 2; –1) перпендикулярно вектору `N = (2; –1; 3). Найти точки пересечения этой плоскости с осями координат.

Решение. По формуле (1.7.1) имеем

2(x – 1) –1·(y – 2) + 3(z + 1) =0, 2 x – y + 3 z + 3 = 0.

Для того, чтобы найти пересечение этой плоскости с осью Ox, подставим в полученное уравнение y = 0, z = 0. Получим 2 x + 3 = 0; x = –1,5.

Точка пересечения искомой плоскости с осью Ox имеет координаты:

M ₁(–1,5; 0; 0). Найдем пересечение плоскости с осью Oy. Для этого возьмем x = 0, z = 0. Имеем – y + 3 = 0 Þ y = 3. Итак, M ₂(0; 3; 0).

Для нахождения точки пересечения с осью Oz возьмем x = 0, y = 0. Тогда 3 z + 3 = 0 Þ z = – 1. Итак, M ₃(0; 0; –1).

Ответ: 2 x – y + 3 z + 3 = 0, M ₁(–1,5; 0; 0), M ₂(0; 3; 0), M ₃(0; 0; –1).

 

 

Пример. Исследовать плоскости, заданные уравнениями: a) 3 x – y + 2 z = 0, б) 2 x + z – 1 = 0, в) – y + 5 = 0, г) x = 0.

Решение. а) Данная плоскость проходит через начало координат (D = 0) и имеет нормальный вектор `N = (3; –1; 2).

б) В уравнении 2 x + z – 1 = 0 коэффициент B = 0. Следовательно,

`N = (2; 0; 1). Плоскость параллельна оси Oy.

в) В уравнении – y + 5 = 0 коэффициенты A = 0, C = 0. Значит, `N = (0; – 1; 0). Плоскость параллельна плоскости Oxy.

г) Уравнение x = 0 задает плоскость Oyz, так как при B = 0, C = 0 плоскость параллельна плоскости Oyz, а из условия D = 0 следует, что плоскость проходит через начало координат.

 

 

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (2; 3;

1) и перпендикулярной вектору BC, где B (1; 0; –1), C (–2; 2; 0).

Решение. Найдем вектор

 

BC.

BC = (–2 – 1; 2 – 0; 0 –(–1)) = (–3; 2; 1).

Вектор BC является нормальным вектором искомой плоскости, проходящей через точку A (2; 3; 1) По формуле (2.2.1) имеем:

–3(x – 2) + 2(y – 3) + 1·(z – 1) = 0; –3 x + 2 y + z + 6 – 6 – 1 = 0;

–3 x + 2 y + z – 1 = 0; 3 x – 2 y – z + 1 = 0.

Ответ: 3 x – 2 y – z + 1 = 0.