Обратимой химической реакции

 

Протекает химическая реакция

 

 

Если химическая реакция протекает без побочных стадий, то в ка-честве критерия оптимальности может быть выбрана скорость реакции.

 

Целевая функции имеет вид

 

F = W = k 01× e	- E 1	× C A - k 02× e	- E 2	× CB.
RT	RT	(4.13)

Установим ограничения и выберем оптимизирующие факторы.

Критерий оптимальности F зависит от трех параметров: T, C_A и C_B.

 

Но С_А и С_В не могут быть выбраны в качестве оптимизирующих пара-метров, т. к. они не являются входами системы, а являются результата-ми реакции, т. е. для увеличения скорости необходимо иметь как можно больше вещества С_А и меньше С_В. Цель же процесса противоположная – увеличить концентрацию вещества В и уменьшить концентрацию веще-ства А. Поэтому концентрации С_А и С_В нельзя считать независимыми факторами.

 

 

Таким образом, есть лишь один независимый параметр, влияющий на функцию цели F – температура. Поэтому настоящая задача является задачей об оптимальной температуре химической реакции.

Однако при различных значениях C_A и C _B влияние температуры может быть различным. Поэтому ставим задачу следующим образом: найти оптимальную температуру химической реакции при фиксирован-ных значениях C_A и C_B. Таким образом, концентрации C_A и C_B выступа-ют как ограничения в виде равенств

 

ì C	= C	;
ï	A / t =0		^A 0
í		= CB.
ï ^C B / t =0
î

Второе ограничение типа неравенств (обязательное): температура не может превысить некоторого максимального значения T _max:

 

T £ T _max.

 

Если реакция необратима, т. е. k ₂ = 0, то в уравнении остается пер-вый член, который с ростом температуры растет неограниченно. В этом случае оптимум определяется ограничением:

 

T опт= T max;

 

W = k × C

× e

- E 1

- k

× C

× e

- E 2

;

A

RT

2,0

B

RT

1,0

dW

= 0;

dt

- E 1

E

- E 2

E

k

× C

A

× e RT

×

×

- k

× C

B

× e RT

×

×

= 0;

T ^2

R

T ^2

1,0

R

2,0

k

× C

× e

- E 1

E

= k

× C

× e

- E 2

E

A

RT

×

2,0

B

RT

×

;

1,0

^E 1 ^k 1,0 ^× ^CA

- E 2

E 1- E 2

e RT

=

= e

RT

;

^E 2 ^k 2,0 ^× ^CB

- E

e

RT

æ

^E 1 ^× ^k 1,0

× CA ö

=

E

- E

ln ç

÷

;

ç

^E 2 ^× ^k 2,0

÷

RT

è

^× ^C B ø

T =

E 1- E 2

.

æ

E 1× k 1,0× CA

ö

k ×lnç

÷

E

× k

2,0

× C

B

è

ø

 

 

Численные методы решения

 

Оптимизационных задач без ограничений

 

При описании численных методов оптимизации можно выделить два случая поиска оптимума:

· одномерный поиск, когда функция цели F зависит от одного опти-мизирующего фактора

 

F = F (x);

· многомерный поиск, когда оптимизирующих факторов больше одного, F = F (x ₁, x _2,…, x_n).

 

Одномерная оптимизация

 

Оптимизация функции одной переменной – это наиболее простой тип оптимизационных задач. Тем не менее задачи одномерной оптими-зации достаточно часто встречаются в практической деятельности ин-женера [9, 27].

 

Следует отметить, что все методы одномерного поиска базируются на последовательном уменьшении интервала, содержащего точку экс-тремума.

Об эффективности алгоритмов различных методов можно судить по числу вычислений функции, необходимому для достижения задан-ной точности.

Существует достаточно большое количество методов однопарамет-рической оптимизации. Рассмотрим некоторые наиболее часто приме-няемые методы.

 

Метод дихотомии

 

Простейшим методом нахождения экстремума функции одной пе-ременной является метод дихотомии (метод деления отрезка пополам).

 

Пусть функция F (x) унимодальна на отрезке [ a, b ]. Необходимо найти оптимум функции на этом отрезке (рис. 4.5) с заданной степенью погрешности e.

 

Рассмотрим последовательность поиска максимума на отрезке [ a, b ]. Делим отрезок [ a, b ] пополам (т. l). Произвольно выбираем малое

 

приращение x (d) и откладываем его слева или справа относительно т. l:

 

x ₁= l + d;

 

x ₂= l – d,

 

где величина d ≤ e (например, d = e/2).

 

 

 

d d

 

Рис. 4.5. Поиск оптимума методом половинного деления

 

Рассчитываем значения функции в двух новых точках – F (x ₁) и F (x ₂)

 

и сравниваем их. Если F (x ₁)< F (x ₂) (так как это показано на рис. 3.11), то максимум находится в правой стороне отрезка. Выбираем отрезок [ x ₁, b ],а отрезок[ а, x ₁]отбрасываем(на этой половине отрезка максимуманет). Точку a перенесем в точку x ₁ и вновь рассматриваем отрезок [ a, b ]_. Если же F (x ₁) > F (x ₂), то выбрали бы отрезок [ а, x ₂]. После выбора той или иной половины отрезка задача возвращается к исходным позициям. Опять задан отрезок [ а, b ], на котором надо найти максимум. Поэтому проводим следующий цикл расчета, подобный предыдущему. Процеду-ра вычислений повторяется, пока не выполнится условие

 

b – a £ e.

 

Метод золотого сечения

 

Одним из наиболее эффективных методов оптимизации, в которых при ограниченном количестве вычислений F(x) достигается наилучшая точность, является метод золотого сечения.

В основе данного метода лежит правило геометрического соотно-шения: отношение длины всего отрезка к большей его части равно от-ношению большей его части к меньшей.

Разделим отрезок l на две части m и l – m,

где m, l – m – меньшая и большая части отрезка соответственно:

 

 

	=	- m	;
- m	m

 

m =(- m)²;

 

m =²-2 m + m ²=0;

 

m ²-3 m +²=0.

Решаем квадратное уравнение относительно m:

 

m =

-

æ

3 ö^2

-

=

-

9 ^2 - 4 ^2

;

ç

÷

è

ø

5 ^2

×

3 -

=

(3

- 5)

;

m =

(

3 -

5)

;

m = 0,382 l = (1 – 0,618) l;

 

l – m = 0,618 l.	(4.14)
	Золотое сечение

 

Рассмотрим поиск максимума на отрезке [ a, b ] (рис. 4.6).

 

Начинаем с деления отрезка [ a, b ] слева и справа в отношении зо-лотого сечения, получаем точки x ₁ и x ₂:

x ₁= a + 0,382(b – a);

x ₂= b – 0,382(b – a).

 

В этих точках вычисляются значения функции F (x ₁) и F (x ₂) и опре-деляется новый интервал, на котором локализован экстремум.

 

Рис. 4.6. Поиск оптимума методом золотого сечения

 

Согласно рис. 4.6 на отрезке [ a, x ₁] максимума быть не может (если функция унимодальна), поэтому эту часть отрезка отбрасываем, перено-сим т. a в т. x ₁ и рассматриваем новый отрезок [ a, b ].

 

На этом отрезке уже есть точка (x ₂), в которой рассчитано значение F (x ₂).Точка x ₂отсекла от прежнего отрезка справа38,2 %,отсекает отнового (меньшего) 61,8 %. Таким образом, и на новом отрезке т. x ₂ яв-ляется точкой золотого сечения. Теперь ее можно назвать точкой x ₁ и добавить на уменьшенном отрезке только одну – т. x ₂. Данная процеду-ра продолжается до достижения заданной степени точности:

 

b - a £ e.

 

Таким образом, на каждом этапе расчета, кроме первого, необхо-димо рассчитывать значение функции F только в одной точке, что по-вышает эффективность метода.

 

Метод сканирования

 

Метод сканирования – метод определения оптимального значения функции F, который заключается в сужении интервала [ a, b ] до заданных размеров. Например, ставится задача поиска оптимальной температуры химической реакции в интервале 100…200 °С (100 °С ≤ Т _опт ≤ 200 °С).

 

В данном случае необходимо решать задачу оптимизации. Если же ин-тервал значительно меньше (145 °С ≤ Т _опт ≤ 146 °С), то можно считать, что задача оптимизации решена.

Применяется данный метод к непрерывным функциям. Сканировани-ем можно исследовать как функцию одной, так и нескольких переменных.

Рассмотрим одномерное сканирование.

Пусть на отрезке [ a, b ] (интервал неопределенности) требуется отыскать экстремум (максимум) целевой функции (рис. 4.7).

 

F(x)

 

Fmax

 

 

а хопт в

2D x

Рис. 4.7. Поиск оптимума методом сканирования

 

 

Задача поиска экстремума сводится к сужению интервала неопре-деленности.

Зададим количество узлов k на интервале [ a, b ], в которых будет рассчитываться целевая функция.

Рассчитаем величину шага сканирования по выражению

 

∆ x = (b – a)/(k – 1).

 

Интервал поиска [ a, b ] разбивается на равные участки с шагом ∆ x,

 

и во всех точках разбиения определяются значения функции F (x_i). Вы-бирается наибольшее из полученных значений функции (в случае поис-ка максимума, рис. 4.8). Далее происходит сужение интервала:

 

а = х _опт – ∆ x; b = х _опт+∆ x.

 

Проверяется условие

 

b - a £ e.

 

Если условие выполняется, то сканирование прекращается; если же не выполняется, то процедура сканирования продолжается на новом, су-женном интервале, величина которого составит 2D x (новый отрезок [ a, b ]).

 

Многомерный поиск оптимума

 

При оптимизации технологических процессов необходимость мно-гомерного поиска оптимума возникает достаточно часто.

 

На основе входных параметров формируется критерий оптималь-ности и выбирается метод многомерного поиска оптимума целевой функции:

 

F = F (x 1, x 2,…, xn).

(4.15)

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых методов много-мерной оптимизации: метод покоординатного спуска.

Покоординатный спуск

Рассмотрим поиск минимума (рис. 4.8) целевой функции для слу-чая с двумя факторами:

 

F = F (x 1, x 2).

(4.16)

В качестве начального приближения в двумерном пространстве выбираются координаты начальной точки поиска: x ₁⁰ и x ₂⁰, т. е. те зна-

 

чения, от которых начинается поиск оптимума.

Выбираются величины шагов движения по параметрам: h ₁ и h ₂ и

малые значения: e ₁ и e ₂. Выбор этих величин определяется физическим смыслом задачи.

 

 

Рис. 4.8. Схема движения к оптимуму

 

методом покоординатного спуска:

 

· – шаг в нужном направлении; * – неудачный шаг

 

Рассчитываем значение функции в начальной точке F (x ₁⁰, x ₂⁰) – точка 1. Зафиксируем координату х ₂ = const и начинаем движение вдоль оси х ₁ с шагом h ₁ в сторону уменьшения функции цели (4.16). Движение продолжается до тех пор, пока наблюдается уменьшение функции (на рис. 4.8 – это точки 2, 3, …, 7):

F_{i + 1}< F_i.

 

В точке 8 получаем значение F большее, чем в точке 7. Поэтому воз-вращаемся в точку 6, фиксируем координату x ₁ (х ₁⁷ = const) и движемся вдоль оси x ₂ с шагом h ₂ до тех пор, пока уменьшается функция цели:

F_{i + 1}< F_i.

После очередного неудачного шага (F_{i + 1} > F_i) меняем координату, по которой идет поиск минимума функции, и вновь продолжаем движение.

 

Процесс последовательно продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность локализации экстремума, т. е. если шаг по каждому параметру приводит к возрастанию функции цели (поиск ми-нимума), а величина шага меньше или равна заданной степени точно-сти, то расчет прекращается:

 

h ₁£ e₁;

 

h ₂£e₂.

 

В том случае, если эти условия не выполняются, движение про-должается из лучшей точки с уменьшенной величиной шагов.

 

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Дайте понятие оптимизации, критерия оптимальности, оптимизи-рующих параметров, ограничений.

 

2. Что включает постановка задачи оптимизации?

3. В каких случаях применяют статистические методы оптимизации?

4. Стратегия метода крутого восхождения по поверхности отклика.

5. В каких случаях для поиска оптимума применяются аналитические методы?

6. Привести этапы оптимизации РИС?

7. Перечислить численные методы оптимизации.

8. Назовите методы одномерной оптимизации.

9. Поиск оптимума методом покоординатного спуска.

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической техноло-

гии. – М.: Химия, 1985. – 489 с.

2. Холоднов В.А., Дьяконов В.П. Математическое моделирование

и оптимизация химико-технологических процессов. Практическое руководство – СПб.: АНО НПО «Профессионал», 2003. – 480 с.

3. Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. – М.: Химия, 1982 с.

4. Бондарь А.Г. Математическое моделирование в химической техно-

логии. – М.: Высш. шк., 1973. – 280 с.

5. Гумеров А.Н., Валеев А.Н и др. Математическое моделирование химико-технологических процессов: учеб. пособие. – М.: КолосС, 2008. – 160 с.

6. Пахомов А.Н. Коновалов А.Н. и др. Основы моделирования хими-ко-технологических систем: учеб. пособие. – Тамбов: Изд-во Тамб.

гос. техн. ун-та, 2008. – 80 с.

7. Касаткин А.Н. Основные процессы и аппараты химической техно-логии: учебник для вузов. – М.: АльянС, 2004. – 750 с.

8. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основ-ных процессов химических производств. – М.: Высш. шк., 1991. – 400 с.

9. Гартман Т.Н., Клушин Д.В. Основы компьютерного моделирования химико-технологических процессов: учеб. пособие для вузов. – М.: ИКЦ «Академкнига», 2006. – 416 с.

10. Расчеты основных процессов и аппаратов нефтепереработки: спра-

вочник / под ред. Е.Н. Судакова. – М.: Химия, 1979. – 568 с.

11. Кравцов А.В., Мойзес О.Е., Кузьменко Е.А. и др. Информатика

и вычислительная математика: учеб. пособие для вузов. – Томск:

ТПУ, 2003. – 243 с.

12. Бенедек, П., Ласло А Научные основы химической технологии: пе-

ревод с нем. / под ред. П.Г. Романкова, М.И. Курочкиной. – Л.: Хи-

мия, 1970. – 376 с.

13. Плановский А.Н. Процессы и аппараты химической и нефтехими-ческой технологии: учебник / А.Н. Плановский, П.И. Николаев. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Химия, 1987. – 496 с.

14. Хала Э. Равновесие между жидкостью и паром. – M.: Изд. иностр.

лит., 1962

 

 

15. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства жидкостей и газов. – Л.:

Химия, 1982. – С. 110–111.

16. Вольф А.В., Самборская М.А. Технологическое проектирование тарельчатых колонн фракционирования нефти: учеб. пособие – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 16 с.

17. Танатаров М.А. и др. Технологические расчеты установок перера-ботки нефти. – М.: Химия, 1987. – 350 с.

18. Кафаров В.В. Разделение многокомпонентных систем в химиче-ской технологии. Методы расчета. – М.: Московский химико-технологический институт, 1987. – 84 с.

 

19. Жоров Ю.М. Моделирование физико-химических процессов неф-тепереработки и нефтехимии / Ю.М. Жоров. – М.: Химия, 1978. – 376 с.

20. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.И. Кинетические модели каталитических реакций. – Новосибирск: Наука, 1983. – 254 с.

21. Бесков В.С., Флор К.В. Моделирование каталитических процессов

и реакторов. – М.: Химия, 1991. – 252 с.

22. Панченков Г.М., Лебедев В.П. Химическая кинетика и катализ. –

М.: Химия, 1985. – 589 с.

23. Киперман С.Л. Основы химической кинетики в гетерогенном ката-

лизе. – М.: Химия, 1979. – 349 с.

24. Безденежных А.А. Инженерные методы составления уравнений скоростей реакций и расчета кинетических констант. – Л.: Химия, 1973. – 256 с.

25. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии

 

и химической технологии. – М.: Высш. шк., 1978. – 319 с.

26. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремального эксперимента. – М.: Наука, 1965. – 340 с.

27. Кравцов А.В., Новиков А.А., Коваль П.И. Компьютерный анализ технологических процессов. – Новосибирск: Наука, 1998. – 212 с.

 

 

 

Учебное издание

 

УШЕВА Наталья Викторовна

 

МОЙЗЕС Ольга Ефимовна

МИТЯНИНА Ольга Евгеньевна

КУЗЬМЕНКО Елена Анатольевна