Построение матрицы исходного симплекса

Прежде чем начать движение по поверхности отклика, необходимо определить условия опытов в исходном симплексе. Для вычисления этих значений пользуются матрицей опытов исходного симплекса в ко-дированных переменных.

 

									Таблица 3.7
N	x 1		x 2		x 3	x 4		x 5		x 6
	0,5		0,289		0,204	0,158		0,129		0,109
	–0,5	0,289	0,204	0,158	0,129		0,109
			–0,578	0,204	0,158	0,129		0,109
				–0,612	0,158	0,129		0,109
				–0,632	0,129		0,109
						–0,645		0,109
							–0,654

 

Приступая к оптимизации, необходимо при помощи таблицы рас-считать матрицу исходной серии опытов в натуральных единицах по следующим формулам:

Xi =	x	- x ^0	;
i	i
	D xi	(3.56)
x	= x ^0	+ D x X,
i		i	i

где X_i – кодированные значения из таблицы.

 

 

При шаговом восхождении по поверхности возможны следую-щие случаи:

 

1. В результате отображения некоторой наихудшей точки сим-плекса в новом симплексе отраженная точка тоже оказалась наихудшей.

В этом случае следует вернуться в предыдущий симплекс и двигаться из него, отбросив точку, показавшую второе наихудшее значение y.

 

2. Симплекс вращается вокруг некоторой точки, отвечающей наи-большему значению y. После проведения n + 1 опыта необходимо пре-кратить движение и повторить точку (опыт), вокруг которой вращались. Если значение в этой точке подтверждается, то, следовательно, достиг-нута область оптимума.

Следует отметить, что симплексный метод – локальный метод по-иска экстремума.

 

При использовании симплекс-метода дублировать опыты не обя-зательно,т.к.ошибка в отдельном опыте может только несколько за-медлить оптимизацию.

 

Пример поиска оптимальных условий

 

методом симплекс–планирования

 

Исследовали процесс механического обезвоживания торфа. Ставится задача: получить торф влажностью W = 60 %. Факторами, влияющими на удаление влаги из торфа, являются:

 

x ₁(g) –удельная нагрузка фильтра торфом,_м ^кг ₂;

 

x ₂(t) –продолжительность отжатия,с; x ₃(p) –давление прессования,MPа;

x ₄(T) –температура, °С.

 

Сформируем условия опытов и шаги варьирования (n = 4).

 

	x 1(g)	x 2(t)	x 3(p)	x 4(T)
xi ^0	0,3		1,2
D xi	0,2		0,8
Верхний уровень	0,5		2,0
Нижний уровень	0,1		0,4

 

Количество факторов n = 4, следовательно, количество опытов в исходном симплексе n + 1 = 5.

 

Для расчета условий опытов в исходном симплексе используем формулу кодирования (3.56) и матрицу исходного симплекса в кодах.

 

 

I. Значение первого фактора в пяти опытах:

x ₁¹= 0,3 + 0,2×0,5 = 0,4;

x ₁²= 0,3 + 0,2×(–0,5) = 0,2;

x 1³= 0,3 + 0,2×(0) = 0,3;

x 1⁴= 0,3 + 0,2×0 = 0,3;

x ₁⁵= 0,3 + 0,2×0 = 0,3.

 

II. Значение второго фактора в пяти опытах: x ₂¹= 60 + 30×0,289 = 68,7;

 

x ₂²= 60 + 30×0,289 = 68,7; x ₂³= 60 – 30×0,578 = 42,7;

⁴ = 60 + 30×0 = 60,0; x 2

x ₂⁵= 60,0.

 

III. Значение третьего фактора в пяти опытах: x ₃¹= 1,2 + 0,8×0,204 = 1,36;

 

² = 1,36; x 3

x ₃³= 1,36;

x 3⁴= 1,2 – 0,8×0,612 = 0,71;

 

x ₃⁵= 1,2.

 

IV. Значение четвертого фактора в 5 опытах:

x 4¹= 60 + 30×0,158 = 64,71;

x 4²= 64,7;

x 4³= 64,7;

x 4⁴= 64,7;

x ₄⁵= 41,0.

 

Заполним таблицу (табл. 3.8).

 

После расчета условий опытов в исходном симплексе реализуют пять опытов (4 + 1). Выбирают «наихудшую точку» (табл. 3.8, т. 3) и на-ходят ее зеркальное отображение.

Рассчитывают координаты отображенной точки по формулам (3.54) и (3.55). Для этого суммируют значения x_i, кроме значений в т. 3 (наихудшая):

_x c ₌ 0, 4+0, 2+0,3+0,3 _=0,3;

₁ 4

_{x 2} c ₌ 2×68,7+60×2 _=64,39;

_{x 3} c ₌ 2×1,36+0,72+1, 2 _=1,16;

 

_{x 4} c ₌ 64×7× ₄ 3+41 _=58,8.

 

 

							Таблица 3.8
N	x 1	x 2	x 3	x 4	y 5(W,%)	Точки	Худшая точка
симплекса
	0,4	68,7	1,36	64,7	64,85
	0,2	68,7	1,36	64,7	61,00	1,2,3,4,5	т. 3
	0,3	42,6	1,36	64,7	67,15
	0,3	60,0	0,72	64,7	67,13
	0,3	60,0	1,2	41,0	66,35
	0,3	86,2	0,96	53,0	63,23	1,2,4,5,6	т. 4
	0,3	81,8	1,72	46,9	66,50	1,2,5,6,7	т. 7
	0,3	92,7	1,5	73,6	61,35	1,2,5,6,8	т. 5
	0,3	76,3	0,87	81,1	64,00	1,2,6,8,9	т. 1
	0,15	93,3	0,98	61,4	62,50	2,6,8,9,10	т. 9
	0,176	94,1	1,53	50,24	61,90	2,6,8,10,11	т. 6
	0,12	88,2	1,73	77,1	59,70	2,8,10,11,12

 

Координаты (условия) 6-й точки симплекса:

 

x ₁⁶= 2×0,3 – 0,3 = 0,3;

x 2⁶= 2×64,39 – 42,6 = 86,2;

x ₃⁶= 2×1,16 – 1,36 = 0,96;

 

х ₄⁶= 2×58,8 – 64,75 = 52,9.

 

Записываем условия шестого опыта в табл. 3.8. Проводим опыт

 

в т.6. В симплексе 1,2,4,5,6 выбираем наихудшую точку. Это точка 4. Ее также зеркально отображаем. Подобная процедура повторяется до тех пор, пока не достигнем оптимального результата (т. 12).

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. В чем заключается суть симплексного метода планирования и оп-тимизации?

 

2. В чем преимущество симплекс–планирования?

3. Каким образом можно определить, что пришли в оптимальную об-ласть?

 

 

 

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

 

4.1. Основные понятия и определения

 

Конечной целью моделирования химико-технологического процес-са (ХТП) является его лучшая реализация или его оптимизация [1, 9].

 

Оптимизация –это целенаправленная деятельность,которая за-ключается в получении наилучших результатов (значений параметров объектов) при соответствующих условиях.

Оптимизация заключается в нахождении экстремума рассматри-ваемой функции или оптимальных условий проведения технологиче-ского процесса.

Для оценки оптимума необходимо прежде всего выбрать критерий оптимизации.

Критерием оптимизации (оптимальности)называется количест-венная оценка оптимизируемого качества объекта. Это главный признак эффективности решения оптимизационной задачи.

В зависимости от конкретных условий в качестве критерия опти-мальности можно выбрать технологический критерий (например, мак-симальный выход продукции с единицы объема аппарата), а также эко-номический критерий (например,минимальная стоимость продукта призаданной производительности).

 

Требования к критерию оптимальности

1. Критерий оптимальности должен быть единственным.

2. Критерий оптимальности должен выражаться числом.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется

 

целевая функция (функция выгоды),которая представляет собой зависи-мость критерия оптимальности от параметров, влияющих на его значение.

 

Целевая функция–это критерий оптимальности,рассматриваемыйкак функция входных параметров:

F = F (x 1, x 2,…., xn).

(4.1)

Чем больше или меньше F, тем лучше.

Следовательно, оптимум – это экстремум (max или min) целевой функции, а задача оптимизации сводится к нахождению экстремума.

Оптимизирующие параметры – это те входные параметры систе-мы, которые в процессе оптимизации относят к управляющим и кото-рые применяются для оптимизации процесса.

 

 

Ограничения –это условия,которые необходимо соблюдать неза-висимо от того, как их соблюдение повлияет на величину критерия оп-тимальности.

 

Примеры возможных ограничений:

· по количеству и качеству сырья и продукции;

· по условиям технологии:

а) например, в качестве управляющего параметра выбрана темпе-ратура, которая не может быть выше той, при которой портится (спекается) катализатор;

б) не можем менять размер аппарата;

в) управляющий параметр – объемная скорость;

· величина расхода смеcи ограничивается мощностью насоса;

· по экономическим соображениям (капитальные затраты не должны превышать выделенной суммы);

· по вопросам охраны труда и окружающей среды.

По математическим признакам ограничения разделяют:

· на ограничения типа равенств, которые устанавливают определен-ные значения того или иного фактора:

x_i = a_i

 

(например, задаются значения по составу сырья, размеры аппарата

и т. д.);

· ограничения типа неравенств, которые определяют пределы изме-нения параметров процесса.

 

Например, f_i³a_i (производительность не ниже заданной); a_l£f_l£b_l (температура в определенном интервале);

f_k£b_k (температура не выше той,которую выдержитматериал).

 

Постановка задачи оптимизации:

1. Необходимо создать математическую модель объекта оптимизации.

 

2. Выбрать критерий оптимальности, оптимизирующие параметры и сформировать функцию цели.

3. Установить возможные ограничения, которые должны наклады-ваться на переменные.

4. Выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремаль-ное значение искомых величин.

 

Таким образом, математически решить задачу оптимизации – зна-

чит определить оптимум функции цели (4.1).

 

Различают задачи статической оптимизации для процессов, про-текающих в установившихся режимах, и задачи динамической оптими-зации при неустановившихся режимах процесса.