Метод крутого восхождения по поверхности отклика

 

(Бокса-Уилсона)

 

В 1951 г. Д. Бокс и К. Уилсон предложили использовать для поиска оптимальных условий сложных процессов результаты полного или дробного факторного эксперимента [1, 25].

Сформулируем задачу оптимизации.

 

Определить координаты оптимальной (экстремальной) точки (x ₁^опт, x ₂^опт, …, x_n ^опт) поверхности отклика y = f (x _1, …, x_n).

 

Метод градиента предусматривает движение к оптимуму по наи-кратчайшему пути.

Метод Бокса-Уилсона – это «шаговый» метод движения по поверх-ности отклика.

Рассмотрим поиск оптимума, когда на процесс влияют два фактора:

n = 2 (рис. 4.1).

В окрестности точки М (область, удаленная от оптимума) ставится эксперимент по схеме ПФ или ДФ планирования для локального описа-ния поверхности отклика в окрестности т. М, линейным уравнением регрессии

y	b 0		b 1 x		^b 2 ^x 2 ^.	(4.2)
ˆ =		+		+

 

Если линейное уравнение адекватно, от центра плана начинают дви-жение к оптимуму по поверхности отклика в направлении градиента:

 

^{¶ f} =^{¶ y ˆ}= b;

¶ x ₁ ¶ x _{1 1}

^{¶ f} =^{¶ y ˆ}= b.

¶ x ₂ ¶ x _{2 2}

 

Движение к экстремуму продолжают до тех пор, пока наблюдается увеличение (поиск максимума) параметра оптимизации y.

Движение к экстремуму прекращают в следующих случаях:

· если значения факторов или функции отклика выходят за пределы допустимых значений;

· если достигнут экстремум критерия оптимальности y.

В первом случае поиск оптимума прекращают. Во втором – пере-носят центр планирования в точку С, до которой дошли по градиенту,

 

и в области локального экстремума функции y выполняют эксперимент по схеме ПФЭ или ДФЭ для математического описания поверхности отклика в окрестности т. С. Если удается вновь получить адекватное математическое описание функции (4.2), то продолжают оптимизацию методом крутого восхождения. Если в области оптимума (т. С) не уда-лось получить адекватного линейного уравнения регрессии (4.2), то пе-реходят к планированию эксперимента второго порядка для получения математического описания функции цели полиномом второй степени. Полученная поверхность исследуется для локализации экстремума.

Метод Бокса-Уилсона используется только для одной экстремаль-ной функции.

Рассмотрим расчет значений шагов движения к оптимуму для каж-дого фактора.

При постановке опытов величина шагов должна быть пропорциональ-на произведению коэффициентов b_i на интервал варьирования фактора.

 

Расчет «шагов» при движении по градиенту проводят следующим образом:

1. Один из факторов выбирают за базовый. Вычисляют произведение коэффициента регрессии на соответствующий интервал варьирова-ния, например b ₁D x ₁:

 

а = (b ₁D x ₁).

2. Для базового фактора выбирают шаг крутого восхождения h_a, ос-тавляя старый интервал варьирования D x _i либо вводя новый – более мелкий. Обычно h_a ≤ D x _1.

 

3. Производят расчет шага для каждого фактора по уравнению

 

h_i = ^{bi D} _a ^xi × h_a,

 

 

где коэффициенты берутся со своими знаками. Таким образом, знак шага по каждому фактору совпадает со знаком соответствующего коэффициен-та регрессии. Рассчитанные шаги по каждому целесообразно округлить.

 

Движение начинают от основного уровня. При первом шаге, т. е. опыте, факторы получают значения, равные основному уровню, плюс рассчитанные шаги варьирования:

x_i = x ₀+ h_i.

На каждом последующем шаге значения факторов изменяют на ве-личину шага варьирования. Движение продолжают до тех пор, пока на-блюдается увеличение (или уменьшение) функции отклика.

Пример. Методом крутого восхождения получить максимальныйвыход продукта химической реакции.

В качестве независимых параметров выбраны концентрация – x ₁ и температура – x ₂.

 

Условия эксперимента приведены в табл. 4.1.

 

				Таблица 4.1
Фактор	Уровни	Интервалы	Основные
		варьирования Dxi	уровни xi^0
Верхний	Нижний
x1
(% масс)
x2
(° С)

 

Был проведен эксперимент по схеме ПФЭ (два параллельных опы-та) для описания поверхности отклика линейным уравнением

 

y = b ₀+ b ₁ x ₁+ b ₂ x ₂.

 

Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 4.2.

 

			Таблица 4.2
N	x 1	x 2			э
	y
	+	+	38,4
	+	–	42,6
	–	+	43,3
	–	–	32,2

 

На основании результатов эксперимента рассчитаны коэффициен-ты регрессии по формулам (3.35), получено линейное уравнение регрес-сии следующего вида:

 

	+ 5,56 x 1	-1,175 x 2.	(4.3)
y =36,6

 

 

Был выполнен статистический анализ по методике (3.36) – (3.42), изложенной в разд. 3.3.1.2.

Проверка дисперсии на однородность по критерию Кохрена (3.38) и оценка значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента (3.40) показали, что дисперсия однородна и все коэффициенты значимы.

Проверка уравнения (4.3) на адекватность, выполненная по критерию Фишера (3.42), показала, что уравнение адекватно и, следовательно, может быть использовано для крутого восхождения по поверхности отклика.

 

Выполним расчет шагов крутого восхождения для каждого фактора (табл. 4.3).

 

Таблица 4.3

 

Фактор	Основные	Интервал	Коэффициент b i	bi D xi	Шаг
	варьирования D xi	К bi D xi
	уровни xj
x 1			5,56	55,6	5,56
(% масс)
x 2			–1,175	–23,5	–2,35
(° С)

 

^* К –коэффициент(в данном случае0,1).

Движение начинаем от основного уровня (30 %, 60 °С), и на первом шаге факторы принимают значения x_i ¹ = x_i ⁰ + h_i.

 

Результаты экспериментов приведены в табл. 4.4.

 

			Таблица 4.4
Результаты экспериментов по методу крутого восхождения
N	x 1	x 2	y
	35,56	57,65	40,40
	41,12	55,30	43,56
	46,68	52,95	48,73
	52,24	50,60	52,72
	57,80	48,25	58,00
	63,36	45,90	50,62
	35,56	57,65	40,40

 

Видим, что в пятом опыте получен максимальный выход продук-та реакции. В шестом опыте наблюдается убывание параметра опти-мизации y.

Переносим центр плана в лучшую точку (т. 5 – т. С на рис. 3.6) и реализуем ПФЭ для двух факторов.

 

Определяем новые условия опытов (табл. 4.5):

 

 

				Таблица 4.5
Фактор	Основной	Интервал	Уровни
уровни	варьирования D xi	верхний	нижний
x 1	57,8		67,8	47,8
(% масс)
x2	48,25		68,25	28,25
(° С)

 

Выполняем эксперимент по схеме ПФЭ 2². Матрица планирования и результаты эксперимента приведены в табл. 4.6.

 

				Таблица 4.6
N	x 0	x 1	x 2	y
	+1	+1	+1	56,4
	+1	–1	+1	56,6
	+1	+1	–1	62,7
	+1	–1	–1	70,5

 

В результате регрессионного анализа уравнений (3.36) – (3.42) по-лучаем, что линейное уравнение регрессии неадекватно эксперименту.

Следовательно, достигнута область, близкая к экстремуму (почти стационарная область).

Если бы уравнение вновь было бы адекватным, то от основного уровня вновь продолжили бы движение по градиенту (но шаги в этом случае делаются меньшими, т. к. при приближении к оптимуму кривиз-на поверхности возрастает).

 

Аналитические методы

 

Аналитические методы являются классическими методами оты-скания экстремального значения функции (min или max). Они применя-ются в основном в тех случаях, когда известен аналитический вид оп-тимизируемой функции F от независимых переменных x_i и число переменных x_i невелико. При большом числе переменных возникает так называемый барьер многомерности и применение аналитических мето-дов становится затруднительным [1, 9].

 

Аналитический поиск экстремального значения целевой функции

F (x ₁, x ₂, …, x_n)сводится к приравниванию нулю её частных производных:

dF/dx_i = 0 i = 1, 2,…, n.