Дробный факторный эксперимент

 

ПФЭ является эффективным средством построения математиче-ской модели исследуемого объекта. Однако одним из недостатков ПФЭ является то, что с увеличением числа факторов резко возрастает коли-чество опытов. Например:

ПФЭ 2⁷ = 128 опытов;

ПФЭ 2¹⁵ = 32768 опытов.

Количество опытов в ПФЭ значительно превосходит число опреде-ляемых коэффициентов линейной модели, т. е. полный факторный экс-перимент обладает большой избыточностью опытов.

Для сокращения количества опытов пользуются дробными репли-ками от ПФЭ, или дробным факторным экспериментом (ДФЭ).

 

Идея ДФЭ заключается в том, чтобы сократить число опытов ПФЭ, но при этом матрица планирования должна сохранить свои оптималь-ные свойства (3.42) – (3.44).

Дробным факторным экспериментом называется система опытов,представляющая собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитать коэффициен-ты уравнения регрессии и при этом сократить объем (количество) опытов.

 

Для построения статистической модели процесса используется оп-ределенная часть ПФЭ: ¹ ₂, ¹ ₄, ¹ ₈ и т. д. Эти системы (планы) опытов на-

 

зываются дробными репликами.

 

 

Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональ-ный план, в качестве реплики берут ближайший ПФЭ. При этом число опытов должно быть больше или равно числу неизвестных коэффици-ентов в уравнении регрессии.

 

Например, необходимо исследовать влияние на результат ХТП трех факторов и получить его математическое описание в виде линей-

ного уравнения		+ b 1 x 1+ b 2 x 2	+ b 3 x 3.
y = b 0

Приведем матрицу планирования ПФЭ для трех факторов. Количе-ство опытов в табл. 3.3 N = 2³ = 8.

 

				Таблица 3.3
N	x 0	x 1	x 2	x 3
	+	+	+	+
	+	–	+	+
	+	+	–	+
	+	–	–	+
	+	+	+	–
	+	–	+	–
	+	+	–	–
	+	–	–	–

 

Допустим, по каким-то причинам исследователю необходимо со-кратить число опытов. При этом свойства матрицы планирования долж-ны быть сохранены, а число опытов N не должно быть меньше 4 (число коэффициентов линейной модели для трех факторов).

 

Для решения этой задачи возьмем ближайший ПФЭ 2² и предполо-жим, что взаимодействие между факторами x₁ и x₂ в ПФЭ равно 0. По-этому в качестве плана для x ₃ новой матрицы используем взаимодейст-вие x ₁ x ₂. Получим дробную реплику (в частности, полуреплику 1/2) от ПФЭ 2³, которая сохраняет все свойства (3.35) матрицы планирования.

 

N	x 0		x 1		x 2	x 3
		(х 1 х 2)
	+	+		+	+
	+		–		+	–
	+	+		–	–
	+		–		–	+
Число опытов в ДФЭ определяется по формуле
			N = 2 ^n–p,			(3.44)

 

 

где n – общее число факторов; p – число факторов, приравненных к произведению.

Если n = 3, фактор x 3 приравнен произведению x 1 x 2, т. е. x 3 = x 1 x 2, то

N = 2 ^{n –1} = 2^3–1 = 2² = 4.

Если приравнять x 3 = –x 1 x 2, то получим вторую половину матри-цы 2³.

 

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т. е. совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов модели. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны 0, то найденные нами коэффициенты будут смешанными оценками для гене-ральных коэффициентов:

^b 0 ^{= b} 0 ^{+ b} 1,2,3^;

b ₁= b ₁+ b ₂₃;

 

b ₂= b ₂+ b ₁₃;

 

b ₃= b ₃+ b ₁₂,

 

где b_i – истинные коэффициенты; b_i – оценки коэффициентов, вычис-ленных по данным выборки.

 

По данному плану (ДФЭ) можно вычислить коэффициенты b ₀, b ₁, b ₂, b ₃,однако они смешаны с парными и тройными взаимодейст-виями.

 

Таким образом, сокращение числа опытов приводит к корреляции между столбцами матрицы ДФЭ. В результате мы не можем раздельно оценить эффекты факторов и эффективность взаимодействий. Получаем совместные (смешанные) оценки.

 

Этот недостаток плана ДФЭ – своеобразная плата за сокращение числа опытов.

 

Вопросы для самоконтроля.

 

1. В чем суть планирования эксперимента?

 

2. Для чего строится матрица планирования?

 

3. С какой целью производится кодированные переменных?

 

4. Благодаря чему упрощается расчет коэффициентов регрессии?

 

5. В чем суть дробного факторного эксперимента и его недостатки?

 

6. Перечислите основные этапы статистического (регрессионного) анализа в полном и дробном факторном эксперименте.

 

7. Каковы ваши действия в случае получения адекватного или неаде-кватного уравнения регрессии?

 

 

Статистические модели