Детерминированные математические модели

 

ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

 

Математическое описание

 

Гидродинамической структуры потоков

 

Химико-технологические процессы обычно протекают в движу-щихся потоках, гидродинамические закономерности перемещения кото-рых оказывают существенное влияние на эффективность химических производств, поэтому при составлении математических моделей ХТП важное значение приобретает описание движения потоков веществ.

 

Движущиеся потоки могут быть как одно- так и многофазными и обыч-но имеют сложную структуру. В гидродинамике существует целый ряд уравнений, с помощью которых можно описать движение среды (например, уравнение Навье-Стокса, уравнение неразрывности потока и др.) [7].

 

Применение классических законов гидродинамики к химико-технологическим процессам оказывается затруднительным из-за слож-ности уравнений гидродинамики реальных потоков, поэтому на практи-ке при составлении математических моделей гидродинамических пото-ков обычно используют более простые приближенные представления об их внутренней структуре. Структура движущейся технологической сре-ды характеризуется степенью перемешивания частиц потока, которая определяет поле концентраций и градиенты температур. Это и послу-жило предпосылкой для установления по признаку перемешивания не-которых типовых моделей движущихся потоков.

 

Принципиально можно построить гидродинамические модели по-токов различной сложности, наиболее отвечающие применяемым кон-струкциям технологического оборудования. Обычно при составлении математических моделей ХТП используют приближенные (модельные) представления о структуре движущихся потоков отдельных фаз. Это следующие гидродинамические модели:

 

· идеального смешения;

· идеального вытеснения;

· диффузионные (одно- и двухпараметрические) модели;

· ячеечные модели;

· комбинированные модели.

 

 

При построении модели структуры потока должны учитываться следующие требования:

· модель должна отражать физическую сущность реального потока и при этом должна иметь достаточно простое математическое описание;

 

· должна давать возможность определять ее параметры расчетным или экспериментальным способом;

 

· должна быть удобной для использования при расчетах конкретного ХТП.

 

Модель идеального смешения

 

По данной модели поток представляется в виде непрерывной среды,которая поступает в аппарат и мгновенно распределяется по всему объ-ему аппарата вследствие полного (идеального) перемешивания частиц потока, при этом концентрация и температура остаются постоянными во всех точках объема данного аппарата и на выходе из него [4].

 

С вх

v вх

 

С

 

С вых

 

v вых

 

C _вх= С ₀, n _вх= n ₀при постоянном объеме(V =const).

 

Уравнение материального баланса потоков на входе и выходе из аппарата:

 

I _вх= n С _вх, I _вых= n С _вых,

 

где I – поток вещества [моль/с], v – объемный расход потока, м³/с; С _вх, С _вых, С – концентрация вещества в потоке на входе в аппарат,выхо-де из него и в любой точке объема аппарата соответственно, моль/м³;

V – объем, м³.

В установившемся режиме I _вх = I _вых. Если на входе в аппарат про-

 

изошло изменение концентрации (возмущение), то I _вх ¹ I _вых и в аппарате произойдет накопление вещества. Предположим, что рассматриваемое

 

 

изменение в аппарате произошло за очень маленький промежуток времени D t ® dt,за который в аппарате произойдет накопление массы:∆ М →dM.

 

Разделив обе части уравнения на объем аппарата (V), получим

 

æ М ö

d ç

÷

n

M

V

è

ø

=

×(C 0- C),

= C;

(2.1)

dt

V

V

dC

=

n

×(C 0- C).

dt

V

 

Уравнение (2.1) описывает изменение концентрации в аппарате идеального смешения.

 

Учитывая, что время контакта равно

 

t = V / v,

 

получим модель идеального смешения в следующем виде:

 

dC	=			×(C	- C).	(2.2)
dt	t

Начальные условия: при t = 0 C (0) = C ₀.

 

Гидродинамическая модель идеального смешения является моде-лью с сосредоточенными параметрами, т. к. переменная С изменяется только во времени.

 

Модель идеального смешения (МИС) обычно используют при опи-сании аппаратов, в которых обеспечивается интенсивное перемешива-ние сред. Это аппараты небольших размеров с соизмеримыми высотой

и диаметром. На практике – это аппараты с мешалками барботажного типа либо аппараты с очень высокой скоростью циркуляции потока.