Производная функции. Её геометрический и механический смысл.

Производной функции f(x) в точке x₀называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.

Lim_Δx→0 (Δf(x₀)/Δx)=lim_Δx→0 ((f(x+Δx)-f(x₀))/Δx)=f ` (x₀)

Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.

Геометрический смысл производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности токи , непрерывна в этой точке и , а (рис.2).

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где .

Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей (.

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке .

Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть, чтобы существовала конечная производная функции в точке .

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :

Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

В случае бесконечной производной .

Из уравнения секущей имеем:

Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно и - длина пути, проходимого за время , отсчитываемого от некоторого момента времени .

Для определения скорости в данный момент придадим переменной некоторое приращение , при этом приращение пути будет равно .

Отношение называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени , и обозначается

Предел называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени .

Таким образом, мгновенная скорость в момент времени прямолинейного движения, совершаемого по закону равна значению производной .

 

 

Производная суммы, произведения, частного.

 

 

 

 

Производная сложной, обратной функции. Производные сложных тригонометрических функций.