Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M₁ (a; f (a)) и M₂(b; f (b)) графика функции у = f (x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка " c " такая, что касательная к графику в точке (c; f (c)) параллельна секущей M₁M₂. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.
Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации

f (x) − f (x ₀) ≈ f '(x ₀)·(x −x ₀).

Отличие только лишь в выборе точки для подсчета значения производной и в знаке равенства.

Теорема Коши

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на [ a, b ] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g (x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g (b) = g (a), то по теореме Ролля для функции g (x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
Рассмотрим функцию

.

Функция F (x) на [ a, b ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F (a) = F (b) = 0. По теореме Ролля для F (x) существует точка c Î (a, b), такая,что F ' (c) = 0. Так как

,

то

.

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

 

Правило Лопиталя.

Первое правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ а, b ] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x) ≠ 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение

при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Предположим, что ∞ < A < + ∞. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х ₀ так, чтобы в интервале (а, x ₀) выполнялось неравенство

.

Применим теорему Коши к отрезку [ а, x ₀], Если х [ а, x ₀], то существует такая точка с [ а, x ], что

и, следовательно, для всех х [ а, x ₀] справедливо неравенство

.

Это означает, что .

Второе правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (a, b) (может быть, бесконечном) и g ' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что

.

Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа ε > 0 выберем х ₀ так, чтобы в интервале (а, x ₀) выполнялось неравенство

.

Определим функцию D (x, x ₀) из условия

.

Имеем

при x → a + 0. Применяя к отрезку [ x, x ₀] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с [ x, x ₀]

Отсюда для всех х, для которых | D (x, x ₀) - 1 | < ε, находим

Так как ε произвольно мало, то , что и требовалось доказать.

 

Формула Тейлора.

 

Пусть функция f (x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула

.

Доказательство. Положим

, .

Функция F (x) имеет производные до порядка n + 1 вместе с функцией f (x). Функция G (x) имеет производные всех порядков, причём её производные положительны при х > a. Легко проверить, что

,

и поэтому F ^(m)(а) = f ^(m)(а) – f ^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n. Так как G ^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n, то выполнены все условия обобщённой формулы Коши. При этом очевидно, что

F ^{(n + 1)}(х) = f ^{(n + 1)}(х), G ^{(n + 1)}(х) = (n + 1)!

Применение обобщённой формулы Коши к этим функциям приводит к соотношению

,

откуда и получается формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

.

Как видно, функция раскладывается на две части. Главная часть

называется многочленом Тейлора порядка n. Второе слагаемое

называется остаточным членом функции в форме Лагранжа.
Если в формуле Тейлора положить а = 0, то последняя обращается в формулу Маклорена

,

где с (0; х). Формула Тейлора позволяет функцию f (x), возможно, сложной природы, заменить приблизительно сравнительно простой функцией — многочленом.