Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x ₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х ₀ (за исключением, быть может, самой точки х ₀). Если

= 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x). В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).
Если

= А ≠ 0 (A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).
Если

= ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).
Если

= 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).
В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).

 

Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке , т.е. существует ;

2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа;

3) эти пределы равны значению функции в точке , т.е.

.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Определения 1 и 2 равносильны.

Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента можно получить как угодно малое приращение функции в окрестностях не изменится.

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . Доказательство состоит в том, что малому приращению аргумента соответствует как угодно малое приращение , приводящее в свою очередь к непрерывности функции к как угодномалому приращению .

Свойство можно записать: ,

Т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

 

Точки разрыва функций.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.