Монотонные последовательности, число е

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка.

Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

— убывающая

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона

(здесь допускается обращение правой границы в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности.

 

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. На основе теоремы Вейерштрасса последовательность

Число е является иррациональным числом — числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.

 

39. Понятие функции, области определения, значений. Способы задания функции.

 

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция .

При этом называется независимой переменной (или аргументом), - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество - областью значений функции.

Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.

Способы задания функций:

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Этот способ наиболее часто встречается на практике.

Например, функция задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.

, , .

в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если - иррационально.

Основные свойства функций

1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример.

а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к ; б) Функция - нечетная (рис.3.3 б). ; в) Функция - общего вида (рис.3.3 в). .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример.

1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а). 2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б).

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.

- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .

4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Пример.

, период , т.к. для любых .