Связь пределов последовательностей с арифметическими операциями.

Связь пределов последовательностей с арифметическими операциями.

 

Если x_n,y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n¹ 0 называются соответственно последовательности

{(x_n± y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n}.

Теорема 8(предел суммы, произведения, частного). Пусть

lim_n®¥x_n = A, lim_n®¥y_n = B,

тогда

1. lim_n®¥(x_n± y_n) = A± B;

2. lim_n®¥x_ny_n = AB;

3. lim_n®¥x_n/y_n = A/B, при B¹ 0.

Теорема 9. Если

lim_{n ® ¥}x_n = A,

lim_{n ® ¥}y_n = B,

и A<B, то $ N: " n>N x_n<y_n.

Теорема 10 (о трех последовательностях). Пусть последовательности x_n, y_n, z_n удовлетворяют при любом n>N условию: x_n £ y_n £ z_n, причем

lim_{n ® ¥} x_n = lim_{n ® ¥} z_n = A.

Тогда

lim_{n ® ¥}y_n = A.

Доказательство. Согласно определению предела " e > 0 $ N₁: " n>N₁ выполняется A- e < x_n < A+ e " e > 0 $ N₂: " n > N₂, A-e < z_n < A+ e Если N = max(N₁,N₂), тогда при n>N получим A-e<x_n £ y_n £ z_n < A+ e. Следовательно,

|y_n-A|< e.

Следствие 2. Если все члены последовательности принадлежат отрезку [a,b], и $ lim_{n ® ¥}x_n = c, то c Î [a,b].

Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,... 1, n,... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для x_n с нечетными номерами.

 

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

 

 

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть α _n и β _n - бесконечно малые последовательности.

ε > 0 N ₁ : n > N ₁ , <

ε > 0 N ₂ : n > N ₂ , <

α _n + β _n α _n + β _n

ε > 0 N = max (N ₁ , N ₂ ): n > N α _n + β _n < ε + ε =

2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо α _n + β _n α _n + β _n надо взять α _n − β _n α _n − β _n .

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. M = max { ε, α₁ ,..., α _{N − 1} }

n: α _n M.

4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

{α _n } бесконечно малая, { x_n } - ограниченная.

c > 0: x_n c, n < N

ε > 0 N : n > N , α _n <

α _n * x_n = α _n * x_n

ε > 0 N : n > N

α _n * x_n < ε.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Доказательство.

{α _n } - бесконечно малая последовательность.

При n N * α _n = c. Предположим, c 0.

Рассмотрим ε = c / 2 > 0. N : n > N (ε) α _n < c / 2.

Положим N ₁ = max , N *), тогда при n > N, c < c / 2 - противоречие, значит, c = 0.

6 (а). Если { x_n } - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / x_n }, причём она является бесконечно малой.

6 (б). Если { y_n } - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / e_n }, причём она является бесконечно большой.

Доказательство. M > 0 N (M): n > N (M) x_n > M.

Из этого видно, что начиная с определённого номера n > 0, а это значит, что последовательность определена.

{1 / x_n } < - бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

 

 

Основные свойства функций

1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример.

а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к ; б) Функция - нечетная (рис.3.3 б). ; в) Функция - общего вида (рис.3.3 в). .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример.

1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а). 2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б).

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.

- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .

4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Пример.

, период , т.к. для любых .

 

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к

Предел функции по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Бесконечно малые функции

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х ₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x ₀ – 0, x → x ₀ + 0.
Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х ₀, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x ₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде
( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < | х – х ₀| < δ): | f (x) | < ε.

Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х ₀ отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.
Доказательство. Пусть

Рассмотрим разность f (x) – А = α(х). Так как

,

то функция α(х) является бесконечно малой при x → х ₀.

Бесконечно большие функции

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x ₀ (или x → x ₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х ₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | > К.
В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х ₀, или что она имеет бесконечный предел в точке х = х ₀. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K), то пишут

или

и говорят, что функция имеет в точке х ₀ бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞).
По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

, , , .

Так, например, пишут если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х ₀ < x < х ₀ + δ, выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи

( K > 0) ( δ = δ(K)> 0)( x₀ < х < x₀+δ): f (x) > K.

 

Точки разрыва функций.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где .

Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей (.

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке .

Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть, чтобы существовала конечная производная функции в точке .

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :

Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

В случае бесконечной производной .

Из уравнения секущей имеем:

Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.

Производная сложной функции

Пусть функция f: [ a, b ] → [ c, d ], а функция g:[ a ₁, b ₁] → [ c ₁, d ₁], причём [ a ₁, b ₁] [ c, d ]. Если функция f дифференцируема в точке х ₀ [ a, b ], а функция g дифференцируема в точке y ₀ = f (x ₀) [ a ₁, b ₁], то сложная функция F (x) = g (f (x)) имеет в точке х ₀ производную, равную

g ' (f (x ₀))· f ' (x ₀).

Доказательство. Так как функция g (y) дифференцируема в точке у ₀, то имеем

Δ g (y) = g ' (y ₀)·Δ y + δ(Δ y)·Δ y,

где δ(Δ х) → 0 при Δ х → 0. Так как функция f (x)дифференцируема в точке х ₀, то имеем

Δ y = f ' (x ₀ )·Δ x + ε (Δ x)·Δ x,

где ε(Δ х) → 0 при Δ х → 0. Поставляя второе соотношение в первое, получим

Разделив обе части последнего соотношения на Δ х, получим

.

Переходя к пределу при Δ х → 0 в левой и правой части последнего равенства с учётом непрерывности рассматриваемых функций, получим

g ' (f (x))| _{x 0} = g ' (y ₀)· f ' (x ₀).

Что и требовалось доказать.

 

1. По определению производной функции Учитывая тригонометрическое тождество и первый замечательный предел, получим   2. Вывод правила дифференцирования функции основывается на тригонометрическом тождестве и первом замечательном пределе:   3. Для вывода правила дифференцирования функции представим эту функцию в виде отношения синуса к косинусу и воспользуемся правилом дифференцирования частного от деления двух функций:   4.Аналогично обосновывается правило дифференцирования функции :

 

Дифференцируемость функции.

Дифференцируемость функции

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

В силу геометрического смысла производной следующие два свойства равносильны друг другу: 1) функция дифференцируема при ; 2) график этой точки имеет касательную в точке , не параллельную оси ординат (т.е. с конечным угловым коэффициентом).

 

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть в некоторой точке области определения функции существует конечный предел

Запишем приращение функции в виде

и найдём

Следовательно, если , то и , а это означает, что функция непрерывна в рассматриваемой точке.

 

Таким образом, из дифференцируемости функции вытекает её непрерывность. Обратная теорема неверна, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках являются недифференцируемыми.

 

Пример 3. Функция

непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке, так как в ней график не имеет касательной. (рис. 79).

 

Из сказанного выше следует, что непрерывность в точке x является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке, так как из непрерывности функции в точке не всегда следует дифференцируемость в этой точке.

 

Формула Лейбница

 

Пусть y = u·v, где u и v — некоторые функции от переменной x, имеющие производные любого порядка. Тогда

.

где есть число сочетаний из n элементов по k (k = 0, 1, 2, …, n). Доказательство. Для k = 1 имеем

для k = 2 имеем

для k = 3 имеем

Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома (u + v) ⁿ по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: u ⁽⁰⁾ и v ⁽⁰⁾.
Пусть формула Лейбница справедлива при k = n:

.

Докажем, что формула справедлива при k = n + 1. Действительно, в этом случае

Здесь воспользовались свойством сочетаний . Изменим индекс суммирования во второй сумме, положив k = p - 1. В этом случае

и в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. После обозначения общего индекса суммирования через р, будем иметь

.

Так как и , получим

.

Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на [ a, b ],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.
Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [ a, b ], и теорема доказана.
Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f (a)), (b, f (b))

y = f (a) + Q ·(x - a),

где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F (x) = f (x) − f (a) − Q ·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

Теорема Коши

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на [ a, b ] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g (x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g (b) = g (a), то по теореме Ролля для функции g (x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
Рассмотрим функцию

.

Функция F (x) на [ a, b ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F (a) = F (b) = 0. По теореме Ролля для F (x) существует точка c Î (a, b), такая,что F ' (c) = 0. Так как

,

то

.

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

 

Правило Лопиталя.

Первое правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ а, b ] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x) ≠ 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение

при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Предположим, что ∞ < A < + ∞. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х ₀ так, чтобы в интервале (а, x ₀) выполнялось неравенство

.

Применим теорему Коши к отрезку [ а, x ₀], Если х [ а, x ₀], то существует такая точка с [ а, x ], что

и, следовательно, для всех х [ а, x ₀] справедливо неравенство

.

Это означает, что .

Второе правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (a, b) (может быть, бесконечном) и g ' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что

.

Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа ε > 0 выберем х ₀ так, чтобы в интервале (а, x ₀) выполнялось неравенство

.

Определим функцию D (x, x ₀) из условия

.

Имеем

при x → a + 0. Применяя к отрезку [ x, x ₀] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с [ x, x ₀]

Отсюда для всех х, для которых | D (x, x ₀) - 1 | < ε, находим

Так как ε произвольно мало, то , что и требовалось доказать.

 

Формула Тейлора.

 

Пусть функция f (x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула

.

Доказательство. Положим

, .

Функция F (x) имеет производные до порядка n + 1 вместе с функцией f (x). Функция G (x) имеет производные всех порядков, причём её производные положительны при х > a. Легко проверить, что

,