Дифференциал функции. Связь с производной, геометрический смысл.

 

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:

. (7.1)

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:

1) - линейного относительно , т.к. ;

2) - нелинейного относительно , т.к. .

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

. (7.2)

Пример. Найти приращение функции при и :

Решение. ,

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. По формуле (7.2.) имеем .

Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

(7.3)

Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:

(7.4)

Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из треугольника : . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле (7.1).

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

 

Инвариартность формы дифференциала.

Если , то из (7.4) имеем .

Рассмотрим сложную функцию , где .

Если функции и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна .

Умножим обе части равенства на : . Таким образом, .

 

Производные высших порядков.

 

Пусть y = f (x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

 

Формула Лейбница

 

Пусть y = u·v, где u и v — некоторые функции от переменной x, имеющие производные любого порядка. Тогда

.

где есть число сочетаний из n элементов по k (k = 0, 1, 2, …, n). Доказательство. Для k = 1 имеем

для k = 2 имеем

для k = 3 имеем

Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома (u + v) ⁿ по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: u ⁽⁰⁾ и v ⁽⁰⁾.
Пусть формула Лейбница справедлива при k = n:

.

Докажем, что формула справедлива при k = n + 1. Действительно, в этом случае

Здесь воспользовались свойством сочетаний . Изменим индекс суммирования во второй сумме, положив k = p - 1. В этом случае

и в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. После обозначения общего индекса суммирования через р, будем иметь

.

Так как и , получим

.