Разложение некоторых элементарных функций по формуле маклонена

,
,
,
,

Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций.

 

Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х ₀ Î (а, b), возрастала (убывала) в точке х ₀, достаточно, чтобы f ' (x ₀) > 0 (f ' (x ₀) < 0).
Доказательство. Так как по условию f (x) дифференцируема в точке х ₀ Î (а, b), то существует предел

.

В достаточно малой окрестности точки х ₀ имеем

,

где sign A означает "знак выражения А". Для случая f ' (x ₀) > 0 имеем sign f ' (x ₀) = + 1, поэтому

sign (f (x ₀ + h) − f (x ₀)) = sign (h).

Откуда следует f (x ₀ − h) < f (x ₀) < f (x ₀ + h), что означает возрастание функции в точке.

 

Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х ₀ Î (а, b), возрастала (убывала) в точке x ₀, необходимо, чтобы её производная в точке х ₀ была неотрицательной f ' (x₀) ≥ 0 (неположительной f ' (x₀) ≤ 0).
Доказательство. Пусть функция f (x) возрастает в точке х ₀ Î (а, b) и справедливы неравенства

f (x ₀ − h) < f (x ₀) < f (x ₀ + h)

В этом случае для положительного приращения h имеем

и .

Выполняя предельный переход в неравенствах, получим

.

Аналогично

.

Так как функция имеет производную в точке, то

,

что и требовалось доказать.
Определение. Функция f (x) называется строго возрастающей (убывающей) на отрезке [ а, b ], если для любых значений аргументов из этого отрезка большему значению аргумента соответствует строго большее (меньшее) значение функции.
Как следствие теоремы Лагранжа можно сформулировать теорему.
Теорема. Если функция f (x) определена на отрезке [ а, b ], дифференцируема в точках х Î (а, b) и

f ' (x) > 0, (f ' (x) < 0),

то функция f (x) возрастает (убывает) на отрезке [ а, b ].
Доказательство. Применим теорему о конечных приращениях для двух произвольных точек х₁ < х₂ Î [ а, b ]

f (x ₂) − f (x ₁) = f ' (c)·(x ₂ − x ₁),

где с Î (x ₁; x ₂). Из этого соотношения следует

sign (f (x ₂) − f (x ₁)) = sign f ' (c)

В случае f ' (x) > 0 для всех х Î (а, b) имеем f (x ₂) > f (x ₁), и большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Что свидетельствует о возрастании функции.

Точки экстремума

Точка x ₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x), если для всех значений аргумента из некоторой достаточно малой δ -окрестности точки х ₀ выполняется неравенство

f (x) < f (x ₀) (f (x) > f (x ₀))

при х ≠ x ₀.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f (x) < f (x ₀) (f (x) > f (x ₀)) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x ₀.
Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то другого локального минимума.
В точках экстремума приращение функции имеет определённый знак. Если Δ f = f (x ₀ + h) − f (x ₀) ≥ 0 для достаточно малых значений h, то точка х ₀ является точкой локального минимума. Если Δ f = f (x ₀ + h) − f (x ₀) ≤ 0 для достаточно малых значений h, то точка х ₀ является точкой локального максимума. Точки экстремума это точки графика функции, которые отделяют участки определённой монотонности друг от друга.
Ниже приведены виды точек экстремумов. В первых двух функция определена и производная существует, такие точки называются стационарными.
Функция в точках экстремума определена, однако производной в точке экстремума может не существовать.