Необходимое условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x ₀, f (x ₀)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x ₀) = 0.
Доказательство. Предположим обратное, пусть f "(x ₀) ≠ 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки x ₀, в которой f ″(x) < 0 (f "(x) > 0), и, значит график функции y = f (x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(x ₀; f (x ₀)). Полученное противоречие доказывает теорему.
Не всякая точка М (x ₀, f (x ₀)), для которой f " (x ₀) = 0, является точкой перегиба. Например, график функции y = f (x) = x ⁴ не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f " (х) = 12· x ² = 0 при х = 0. Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба. Точки М (x ₀; f (x ₀)) графика, для которых f "(x ₀) = 0, будем называть критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует сформулировать достаточное условие перегиба.

Достаточное условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f "(x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x ₀ интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х ₀, а график функции имеет касательную в точке С = (х ₀, f (x ₀)). Если при переходе через точку х ₀ вторая производная f "(x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x).
Доказательство. Из того, что f "(x) слева и справа от точки x ₀ имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x ₀ является различным. Это и означает наличие перегиба в точке M(x ₀; f (x ₀)).

 

Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

Асимптоты функции

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке.
Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода
В этом случае f (x ₀ ± 0) = ± ∞, или f (x ₀ ± 0) = + ∞, или f (x ₀ ± 0) = − ∞.
Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции

.

Рис. 8.2. Точка разрыва второго рода для данной функции определяется только справа

Горизонтальные асимптоты

Если

,

то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот

Наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y = k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями

,
.

Для того, чтобы функция y = f (x) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.
Доказательство. По определению асимптоты имеем

.

Так как MP = MP ₁·cos α, где угол α есть величина постоянная, равная углу наклона асимптоты к оси Ох. Поэтому соотношение для определения асимптоты можно записать в виде

.

Так как точки М и Р ₁ соответствуют одному и тому же значению аргумента, то это соотношение можно записать в виде

. (9.1)

Если вынести за скобки х, то

,

из этого однозначно будет следовать

,

или

.

Откуда следует соотношение для нахождения углового коэффициента асимптоты

.

Зная угловой коэффициент асимптоты, из соотношения (9.1) получим

.