Правило нахождения точек перегиба

графика функции

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной впромежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

 

Пример 1: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: .

Решение: Находим , .

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение .

.

 

	+		-
		точка перегиба

 

Ответ: Функция выпукла вверх при ;

функция выпукла вниз при ;

точка перегиба .

 

Общая схема для построения графиков функций

 

1. Найти область определения функции .

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график:

.

Решение:

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: решим уравнение

.

с осью ОY:

3) Выясним, не является ли функция четной или нечет

ной:

.

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодична.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

 

		-1		1
	+	0	-	0	+
		т. max		т. min -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

Критические точки: .

 

		0
	-	0	+
		точка перегиба

7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8) По результатам исследования построим график функции:

y

 

 

 

1 x

-2

 

 

Тема 2.3. Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл. Методы вычисления

 

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если или .

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Определение: Совокупность F(x)+С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. 2. ;

3. 4. ;

5. ; 6. .

Таблица интегралов

Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.

 

Пример 1: Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: =

=

.

Пример 2: Найти неопределенный интеграл: .

Решение: =

.

Пример 3: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

 

Метод подстановки в неопределенном интеграле

(метод замены переменной)

Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на ,где -непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают

При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения .

Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.

 

Пример 1: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

Пример 2: Найти неопределенный интеграл

Решение:

=

Пример 3: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

Пример 4: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

= = .

Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку x_k и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида

Определение: Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл