Какие матрицы можно умножать.

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу необходимо, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример 4:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая

запись не имеет смысла

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Начнем с самого простого:

Пример 5:
Умножить матрицу на матрицу
Сразу привожу формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример 6 (сложнее):

Умножить матрицу на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определителем второго порядка называется число .

Определителем третьего порядка называется число

Основные свойства определителей:

1. Если строки определителя поменять местами с соответственными столбцами, то значение определителя не изменится.

2. Если переставить две строки (столбца) определителя местами, то значение определителя изменится на противоположное.

3. Если элементы строки (столбца) определителя содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4. Если две строки (столбца) определителя содержат соответственно пропорциональные элементы, то значение определителя равно нулю.

5. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.

Пример 7:

Вычислить определитель:

Упростив определитель согласно перечисленным свойствам, найдем его значение:

1) вынесем множитель 3 из второй строки за знак определителя;

2) сложим соответственные элементы первой и второй строки;

3) сложим соответственно элементы второго и третьего столбца;

4) вынесем множитель 2 из второго столбца за знак определителя;

5) вынесем множитель 3 из первой строки за знак определителя;

6) вычислим определитель по правилу.

Тема 1.2. Системы линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом определителей

(метод Крамера)

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: x ₁, x ₂, x ₃:

(коэффициенты a_ij и свободные члены b_i считаются заданными).

Решение: составим определители :

, , , ,

где D называют определителем системы, а определители D x_i получены из основного определителя D заменой свободными членами b_i элементов соответствующего столбца.

Особые случаи:

1) если D¹ 0, то система имеет единственное решение;

2) если D = 0, D x_i ¹ 0, то система несовместна;

3) если D = D x_i = 0, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо она решений не имеет.

Пример 1:

Решить систему линейных уравнений:

Решение: составим определители D, D _x, D _y, D _z и найдем их значения.

(D¹ 0, следовательно, система имеет единственное решение).

.

.

.

Найдем решение системы:

Ответ: (3; 2; –1).

Раздел 2. Основные понятия и методы математического анализа.

Тема 2.1. Теория пределов.

Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемсяк а, если для любой последовательности чисел х₁, х₂, х_3, …,.х_n,… сходящейся к числу а, следует, что последовательность значений функции f(х₁), f(х₂),…, f(х_n)… сходится к числу А.

Предел функции в точке а обозначается .

Основные теоремы о пределах

Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

Техника вычисления пределов

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

· Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда

^.

· Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.

Необходимо помнить, что

^{, , , , , .}

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , , , ).

При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:

а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;

б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной;

в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;

г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;

д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .

Вычислить пределы функций:

Пример 1:

 

Пример 2:

Пример 3:

=

Пример 4:

 

Пример5:

 

Тема 2.2. Дифференциальное исчисление.

Понятие производной

Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этотпредел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

 

Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

 

Таблица производных

 

 

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

 

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

+

Пример2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной: .

Пример 1: Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

Дифференцирование сложной функции

 

Пусть y= y(u), где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

, или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

 

Пример 1: Найти производную функции

Решение: =

Пример 2: Найти производную функции

Решение:

=

+