Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

 

Определение. График функции называют выпуклым в точке с абсциссой , если в некоторой -окрестности точки график функции лежит под касательной к нему, проведенной в этой точке (рис. 6).

Определение. График функции называют вогнутым в точке с абсциссой , если в некоторой -окрестности точки график функции лежит над касательной к нему, проведенной в этой точке (рис. 7).

Определение. Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной на другую, то есть пересекает свою касательную, называют точками перегиба (рис. 8).

Рис. 6. Рис. 7.

Рис. 8.

Теорема. Достаточный признак выпуклости или вогнутости функции в некоторой точке с абсциссой (при условии, что при функция имеет непрерывную вторую производную) состоит в следующем: если , то график функции в этой точке выпуклый; если , то график функции в этой точке вогнутый.

Из достаточного признака выпуклости и вогнутости графика функции получаем необходимый признак наличия точек перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема. Достаточный признак наличия или отсутствия точки перегиба: если слева и справа от критической точки имеются такие промежутки и (где - некоторое положительное число), в каждом из которых сохраняет постоянный знак, то точка будет точкой перегиба, если знаки в этих промежутках разные, и не будет ею, если знаки в этих промежутках одинаковые.

 

Примерная схема построения графика функции

 

С учетом всего вышеописанного для исследования функции и дальнейшего построения графика следует придерживаться следующей схеме:

1. Область существования функции.

2. Симметрия графика функции (четность, нечетность).

3. Точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Использование первой производной: интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.

5. Использование второй производной: участки выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.

6. Составление сводной таблицы результатов исследования.

7. Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график

Решение.

1. Найдем область определения функции. Дробь определена, если знаменатель отличен от нуля, т. е.

; .

И так, .

2. Исследуем функцию на четность. Так как точка не входит в область определения функции, а точка принадлежит области определения функции, т. е. область определения рассматриваемой функции не симметрична относительно начала координат, то функция не является чётной и не является нечётной.

3. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат − с осью :

; ; .

и осью : , .

График функции пересекается с координатными осями в начале координат − точке .

4. Определим экстремумы и интервалы монотонности функции. Для этого найдём первую производную и решим уравнение ;

;

;

;

.

Функция возрастает при и убывает при .

Поскольку при переходе через точку первая производная меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума:

.,

а при переходе через точку первая производная меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума:

Итак, − точка локального минимума, – точка локального максимума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого найдём вторую производную и решим уравнение :

Левая часть данного уравнения в нуль никогда не обращается точек перегиба нет.

Исследуем знак на промежутках :

;

.

График функции выпуклый вверх при ; вогнутый − при .

6. Составим сводную таблицу.

 

	+		–	Не сущ.	–		+
	–	-2	–	Не сущ.	+		+
				Не сущ.		4
	max		min

 

7. Постоим график.

 

Неопределенный интеграл

 

Ранее мы рассматривали способы нахождения производных функции, а также их применение к исследованию функций, что составляет основную задачу раздела высшей математики, называемого дифференциальным исчислением. Далее перейдем к рассмотрению основ интегрального исчисления, которое решает обратную задачу, а именно задачу нахождения функции по ее производной или дифференциалу.