Связь производной с наличием экстремумов функции

Определение. Точка (рис.4) называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех значений , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство:

.

Определение. Точка (рис.5) называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех значений , принадлежащих этой окрестности, кроме выполняется неравенство:

.

Определение. Точками экстремумов функции называют точки, в которых функция принимает минимальные или максимальные значения.

Рис.4 Рис.5

 

Если точек максимумов или минимумов несколько, то такие максимумы или минимумы называют локальными.

Существует тесная связь между наличием экстремумов у дифференцируемых функций и поведением их производных в соответствующих точках и их окрестностях.

Теорема. Производная дифференцируемой функции в точке экстремума равна нулю.

Эту теорему называют теоремой о необходимом условии существования экстремума дифференцируемой функции в точке, поскольку в ней указывается, что если дифференцируемая функция имеет в некоторой точке экстремум, то в этой точке производная функции обязательно равна нулю.

Из рассмотренной теоремы вытекает, что дифференцируемая функция может иметь экстремумы лишь в тех точках, где ее производная равна нулю, т. е. в так называемых стационарных точках функции, являющихся корнями уравнения:

.

Теорема. Если производная функции в некоторой точке обращается в нуль и при переходе через эту точку изменяет свой знак на противоположный, то данная точка является точкой экстремума функции, причем:

1) этот экстремум является максимумом, если при переходе через точку слева направо знак производной изменяется с положительного на отрицательный;

2) этот экстремум является минимумом, если при переходе через точку слева направо знак производной изменяется с отрицательного на положительный.

Эту теорему называют теоремой о достаточных условиях существования экстремума дифференцируемой функции в точке, поскольку в ней указаны те условия, которым должна удовлетворять производная, чтобы функция в рассматриваемой точке имела экстремум определенного типа.

Справедливо следующее утверждение: точками экстремумов являются лишь те из критических точек функции, при переходе через которые знак производной изменяется на противоположный; при этом изменение знака с плюса на минус свидетельствует о наличии точки максимума, а с минуса на плюс – точки минимума.