Производная обратной функции.

Если у=f(х) – взаимно однозначное отображение, т.е. является инъекцией ( х₁≠х₂ f(x₁)≠f(x₂)) и сюръекцией (отображение «на») (f(A)=B или такое, что y=f(x)). (f:X→Y; φ= f^-1:Y→X)

Можно определить новую функцию: f^-1:B→A, x=f^-1(y)–обратная функция, относительно f.

Пусть функцияу=f(x) определена в промежутке áa,bñ и является там строго монотонной и непрерывной. Тогда у функции у=f(x) существует обратная функция х=j(у), определенная в промежутке áp,qñ, причем эта функция в промежутке áp,qñ также строго монотонна и непрерывна. (áp,qñ - множество значений, принимаемых функцией у=f(x) на промежутке áa,bñ).

Теорема. Пусть 1) функцияу=f(x) определена в промежутке áa,bñ и является там строго монотонной и непрерывной; 2)функцияу=f(x) имеет конечную ненулевую производную в точке х₀Îáa,bñ. Тогда обратная функция х=j(у)=f^-1(у) также имеет производную в соответствующей точке у₀=f(x₀)Îáp,qñ и справедлива формула: . или

Если у=f(x) имеет ненулевую производную в каждой точке, то или

Доказательство. По условию 0.

Придадим у₀ приращение Dу≠0 такое, что точка у₀+DуÎáp,qñ.

Тогда функция х=j(у) получит приращение Dх=j(у₀+Dу)-j(у₀).

В силу строгой монотонности функции х=j(у) Dх≠0, если Dу≠0.

В силу непрерывности функции х=j(у) Dх®0, если Dу®0.

Имеем очевидное равенство . Перейдем в этом равенстве к пределу при Dу®0. Получим:

Т.к. по условию . Тогда существует и . Ч.т.д.

Геометрический смысл формулы . Если является тангенсом угла α наклона касательной к кривой у=f(x) к оси Ох, то - тангенс угла наклона β той же касательной к оси Оу.

 

Пример.

1) у=arcsin x, хÎ(-1,1) (уÎ )(График)

Эта функция является обратной для функции x=sin y, которая для уÎ имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arcsin x дляхÎ(-1,1) имеет конечную производную, причем

(перед радикалом взят знак «+», т.к. cos y>0 для уÎ ). Т.о. , хÎ(-1,1).

2) у=arcоs x, хÎ(-1,1) (уÎ(0,p))

Эта функция является обратной для функции x=соs y, которая для уÎ(0,p) имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arccos x дляхÎ(-1,1) имеет конечную производную, причем

(перед радикалом взят знак «+», т.к. sin y>0 для уÎ (0,p)). Т.о. , хÎ(-1,1).

3) у=arctg x, хÎ(-¥,+¥) (уÎ )

Эта функция является обратной для функции x=tg y, которая для уÎ имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arctg x дляхÎ(-¥,+¥) имеет конечную производную, причем

. Т.к. tg y=x, то получаем

, хÎ(-¥,+¥).

3) у=arcсtg x, хÎ(-¥,+¥) (уÎ(0,p))

Эта функция является обратной для функции x=сtg y, которая для уÎ(0,p) имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arcсtg x дляхÎ(-¥,+¥) имеет конечную производную, причем

. Т.к. сtg y=x, то получаем

, хÎ(-¥,+¥).

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Рассмотрим функцию F(x,y)=0

Для нахождения ее производной дифференцируют обе части тождества, рассматривая у как функцию от х. Получим тождество Φ(х,у, )=0, из которого получаем производную .

Пример. Найти производную функции хlny-ylnx=9

Дифференциал функции.

Подход к дифференциальному исчислению связан с аппроксимацией (приближением) функций.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке Х и точка х₀ÎХ. Дадим значению аргумента х₀ приращение Δх такое, что Δх≠0 и х₀+ΔхÎХ.

Пусть Δу=f(х₀+Δх)-f(х₀) – приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению Dх аргумента.

Если функция f(x) имеет в точке х₀ конечную производную , то приращение Δу этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх (1)

где α(Dx)→0 при Dx→0.

Если ≠0, то первое слагаемое в формуле (1) пропорционально величине Dх или линейно зависит от Dх.

Т.к. в этом случае ≠0, то слагаемое ×Dх является при Dx→0 бесконечно малой того же порядка, что и Dх.

Второе слагаемое a(Dх)×Dх правой части (1) при Dx→0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем Dх, т.к.

Определение. Д ифференциалом функции у=f(х) в точке х₀ называется произведение производной, вычисленной в этой точке, на приращение Dх аргумента:

dy= ×Dx (2)

Пример. Найти дифференциал функции у=х.

dy=dx=(x)¢×Dx=Dx.

Т.о. полагают, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, т.е. dx=Dx. (это своего рода соглашение).

Тогда вместо равенства (2) можно записать dy= ×dx (3) или

= (4)

Рассмотрим формулу Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх (1)

Если ≠0, т.е. dy≠0 при Dх≠0, то

Þ =1/

Значит в случае, когда ≠0, приращение функции Dу и ее дифференциал dy оказываются эквивалентными бесконечно малыми при Dх®0. Поэтому в этом случае верно приближенное равенство: Dу»dy (5)

Приближенное равенство (5) тем точнее, чем меньше Dх.

Формулой (5) пользуются в приближенных вычислениях, т.к. структура дифференциала функции dy проще структуры ее приращения Dу.

Пример. у=х³.

Dу=(х+Dх)³-х³=3х²×Dх+3х×(Dх)²+(Dх)³, а dy=3х² Dх

Если взять х=2, Dх=0,01, то Dу=3×4×0,01+3×2×0,0001+0,000001=0,120601, а dy=3×4 0,01=0,12. Т.о. абсолютная ошибка údy-Dуú=0,000601, относительная ошибка