Геометрический смысл дифференциала.

Пусть графиком функции y=f(x), хÎХ является кривая L. Пусть значению аргумента х₀ соответствует некоторая точка М₀. Проведем к кривой L в точке М₀ касательную М₀Т. Для углового коэффициента касательной справедлива формула .

При переходе от х₀ к х₀+Dх ордината касательной получит приращение

NK=Dx×tg a= ×Dx=dy.

Т.о., dy – это это приращение ординаты точки, лежащей на касательной к кривой L в точке М₀, при переходе от х₀ к х₀+Dх.

Замена приращения функции Dу дифференциалом dy равносильна переходу от заданной функциональной зависимости у от х (y=f(x)) к линейной зависимости у от х в достаточно малой окрестности точки х₀. Полученная при такой замене погрешность оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Основные свойства и правила дифференцирования.

Т.к. дифференциал dy функции y=f(x) получается умножением производной этой функции на дифференциал независимой переменной dx (dy= ×dx), то операции на вычисление производной и дифференциала, с точки зрения техники вычислений, почти не отличаются друг от друга. Это позволяет из формул для производных получить соответствующие формулу для дифференциалов.

Рассмотрим формулу . Умножим обе части на dx, получим:

или

d(u±v)=du±dv

Аналогичным образом получим остальные формулы:

1) dС=0 2) d(cu)=cdu 3) d(u±v)=du±dv 4) d(uv)=vdu+udv

5) d

6) d(x^r)=rx^r-1dx 7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

Дифференциал сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию у=f(j(x)).

Пусть даны функции f и φ: . Т.е. функция y=f(u) определена в промежутке U, а функция u=j(х) определена в промежутке Х и если хÎХ, то j(х)ÎU. Тогда для хÎХ имеет смысл выражение у=f(j(x)) – сложная функция.

Пусть функция u=j(x) имеет конечную производную на промежутке Х, а функция у=f(u) имеет конечную производную на промежутке U.

Т.к. у=f(j(x)) – функция независимой переменной х, определенная на промежутке Х, то, по определению дифференциала:

dy= dx (*)

По правилу дифференцирования сложной функции

=

Подставляя это выражение для в соотношение (*), получим:

dy= dx

По определению дифференциала: du= dx

Окончательно получаем: dy= du (**)

Сравнивая соотношения (*) и (**) заметим, что дифференциал сложной функции у=f(j(x)) через промежуточную переменную u выражается в той же форме, как и через независимую переменную х.

В этом состоит свойство инвариантности (неизменяемости) формы дифференциала.

Пример. у= , xÎ(-1,1) .

Положим х=sin t, tÎ . Тогда у= .

Тогда dx=cos t×dt, dy=-sin t×dt

- получили лишь другое выражение для вычисленной выше производной.

Производные высших порядков.

Пусть функция у=f(x) определена в некотором промежутке Х и в каждой точке этого промежутка имеет конечную производную (х). Тогда производная сама является функцией от х на промежутке Х.

Назовем (х) – производной первого порядка.

Если существует производная от (х), то ее называют - производной второго порядка (второй производной) от функции у=f(x): , , .

Вторая производная также может иметь производную на промежутке Х.

Производная от второй производной называется производной 3-го порядка (третьей производной): , , .

Аналогично вводятся четвертая, пятая и т.д. производные от функции у=f(x). Обозначения производной n–го порядка: , , .

Пример. 1) y=ln x, xÎ(0,+¥)

, ,

Допустим, что ,

тогда

Т.о. верна

2) y=sin x, хÎ(-¥,+¥)

,

Допустим, что

Тогда

Т.о.

3. Пусть функции u(x) и v(x) в некотором промежутке Х имеют конечные производные всех порядков до n включительно. Рассмотрим функцию у(х)=u(x)±v(x).

Допустим, что

Тогда

Т.о.

Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.

Теорема. (б/д)Пусть функции u(x) и v(x) в некотором промежутке Х имеют конечные производные всех порядков до n включительно. Тогда функция у(х)=u(x)×v(x) имеет в промежутке Х конечные производные всех порядков до n включительно, причем , m=1,2,…,n

(Доказывается, аналогично выводу формулы ).

Пример. у=х²е^х. Вычислить у⁽¹⁰⁰⁾. Здесь u(x)=е^х, v(x)= х².

у⁽¹⁰⁰⁾=(е^х×х²)⁽¹⁰⁰⁾=

=(е^х)⁽¹⁰⁰⁾×х²+100×(е^х)⁽⁹⁹⁾× + ×(е^х)⁽⁹⁸⁾× +0= е^х×х²+200е^х×х+9900 е^х.