Дифференциальное исчисление.

Дифференциальное исчисление.

Производная.

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀.

Дадим значению аргумента х₀ приращение ∆х=х-х₀ такое, что Dх≠0 и точка х=х₀+DхÎV(x₀). Тогда функция получит приращение

Dу=f(x)-f(x₀) или Dу=f(х₀+Dх)-f(x₀) – приращение функции.

Рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приближении точки х к х₀.

Определение. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, то этот предел называется производной функции в точке х₀:

(1)

Или (2)

Обозначения: , , , .

Если предел конечен, то производная называется конечной, если он бесконечен, то производная называется бесконечной. Процесс вычисления производных функций называется дифференцированием; точка х₀, в которой вычисляется производная, называется точкой дифференцирования.

Пример. Найдем по определению производную функций:

1) f(x)=С, f¢(x)=0.

2) f(x)=cos x

= = =

= =-2sin x₀· =-sin x₀. Т.о.

3) f(x)=sin x

= = =

= =-2× cos x₀= cos x₀.

4) f(x)=xⁿ (nÎN)

1. Случай n=1.

f(x)=x =

2. n=2,3,…

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

=

= → при Dх→0,

(xⁿ)¢=nx^n-1.

5) f(x)=a^x

= = =

Введем замену, t=a^∆x-1→0 при ∆х→0. Тогда а^∆х=t+1; ∆x=log_a(t+1)=

Получаем: = = = =

= = =

Т.о. в частности,

6) f(x)=log_ax

= =

В силу непрерывности функции f(x)=log_ax f(x)=log_ax имеем

Т.о.

Примеры функций, не имеющих производную.

1) f(x)=sign x=

В точке х₀=0 нет производной

f(0+Dx)-f(0)=

= - нет предела при Dх→0

2) f(x)=êхê- в точке х₀=0 нет производной (в положительной полуплоскости f¢(x)=х, в отрицательной - f¢(x)=-х). (График)

f(0+Dx)-f(0)= , , Þ нет предела при Dх→0

Геометрический смысл производной.

Задача о касательной к кривой. Пусть на плоскости задана непрерывная кривая L, описываемая уравнением у=f(x). Требуется найти уравнение касательной к ней в точке М₀(х₀,у₀).

Определение. Касательной к кривой L в точке х₀ называется предельное положение секущей М₀М, проходящей через точку М₀ и некоторую другую точку М, лежащую на кривой L, когда точка М вдоль кривой произвольным образом стремиться к совпадению с точкой М₀, т.е. при Δх→0.

Дадим аргументу х₀ приращение Δх такое, что Dх≠0 и перейдем на кривой от точки М₀(х₀,f(x₀)) к точке М(х₀+Δx, f(x₀+Δx)) или М(х₀+Δx,у₀+Δу) (Dу=f(x₀+Δx)-f(x₀), у₀=f(x₀)) и проведем секущую М₀М. Она имеет уравнение

у-у₀=k(Dх)(x-x₀) (1)

Угловой коэффициент секущей М₀М можно найти из ∆ М₀МN:

=tgφ= (2)

Равенство (2) справедливо при любом расположении кривой L и при любом Расположении точки М относительно точки М₀ (справа или слева). При Dх→0 расстояние êМ₀Мê→0.

Действительно, в силу непрерывности функции f(x) в точке х₀ будет =0. Тогда êМ₀Мê= →0 при Dх→0 и точка М по кривой будет стремиться к совпадению с точкой М₀, секущая М₀М будет стремиться принять свое предельное положение М₀Т, tgj→tga, Dx→0

Тогда угловой коэффициент касательной

k= = =

Т.о., если у функции f(x) в точке x₀, то уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М₀(х₀,у₀) будет иметь вид:

у-у₀= (x-x₀) или у-f(x₀)= (x-x₀)

Т.о. получили геометрический смысл производной: производная - угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f(x) в точке х₀, т.е. k= .

Если у функции у=f(x) в точке х₀ существует бесконечная производная, т.е.

=¥, то в силу равенства =tgφ= , =¥.

Запишем уравнение секущей М₀М у-у₀=k(Dх)(x-x₀) в виде:

Переходя в этом соотношении к пределу при Dх→0, получим: х-х₀=0Þ х=х₀ (4)

(4) -уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке М₀ в случае, когда =¥. Прямая х=х₀ – вертикальная касательная к графику функции у=f(x) в точке М₀.

Односторонние производные.

1) Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой правосторонней окрестности этой точки u₊(x₀).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной правосторонней производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается .

2) Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой левосторонней окрестности этой точки u_-(x₀).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной левосторонней производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается .

Об односторонних производных функции y=f(x) в точке х₀ можно говорить и в случае, когда эта функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности u(x₀) точки х₀ (т.е. f(x) определена одновременно и в u₊(x₀), и в u_-(x₀)).

Для функции y=f(x), определенной в u(x₀), справедливо следующее утверждение:

Для того, чтобы у функции f(x) в точке х₀ существовала обычная (т.е. двусторонняя) производная, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовали одновременно и , причем = (= ).

В случае, если у функции y=f(x) в точке х₀ существуют одновременно и , но ≠ , то обычной производной у функции y=f(x) в точке х₀ нет.

Пример. f(x)=êхê, х₀=0.

Dу=f(x₀+Dx)-f(x₀)=f(0+Dx)-f(0)=ê0+Dxê-ê0ê=êDxê

Если Dx>0, то Dу=Dx, следовательно .

Если Dx<0, то Dу=-Dx, следовательно .

≠ , значит обычной производной у функции f(x)=êхê в точке 0 нет.

Дифференцируемые функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке Х и точка х₀ÎХ. Дадим значению аргумента х₀ приращение Δх такое, что Δх≠0 и х₀+ΔхÎХ.

Пусть Δу=f(х₀+Δх)-f(х₀) – приращение функции.

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если приращение Δу этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

Δу=А×Dх+a×Dх (1)

Где А – некоторое число, не зависящее от Δх, а a - функция аргумента Δх такая, что a(Δх)→0 при Δх→0 (т.е. б.м. при Δх→0).

В точке Δх=0 функция a(Δх) может принимать любое значение. Для определенности можно, например, положить a(0)=0.

Пример. f(x)=х².

f(х₀+Δх)-f(х₀)=(х₀+Δх)²-х₀²=2х₀Dх+(Dх)²

А=2х₀, a(Δх)=(Dх)²→0 при Δх→0

d(f(x₀))=2x₀.

Теорема. Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀. Докажем, что существует конечная производная .

Т.к. y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то приращение Dу этой функции в точке х₀, соответствующее приращению аргумента Dх, можно представить в виде:

Δу=А×Dх+a×Dх, где a(Δх)→0 при Δх→0. Предположим, что Dх≠0 и разделим обе части равенства на Dх: =А+a(Dх)

Переходя к пределу при Δх→0, находим =А.

А это и означает, что существует конечная , причем =А.

Достаточность. Пусть функция y=f(x) имеет в точке х₀ конечную производную. Покажем, что f(x) дифференцируема в точке х₀.

Т.к. существует конечная = , то разность - - бесконечно малая функция при Δх→0.

Положим - =a(Dх), то =0. Следовательно, = +a(Dх), откуда Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх, причем a(Dх)→0 при Dх→0.

Полученное выражение для Δу совпадает с представлением Δу=А×Dх+a×Dх, если обозначить через А не зависящее от Dх число . Т.о. доказали, что функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. ч.т.д.

Замечание. Из теоремы следует, что дифференцируемость функции у=f(x) в точке х₀ равносильна существованию в этой точке конечной производной .

Правила дифференцирования.

Пусть функции U=U(x), V=V(x) дифференцируемы в точке х₀, тогда функции U±V, UV, CU, U/V также дифференцируемы в этой точке и справедливы равенства:

1. =0, где С=const

2.

3.

4. (V≠0)

Доказательство. 2) Дадим х приращение Dх. Тогда функции u(x) и v(x) получат соответственно приращения Du и Dv, их новыми значениями будут u(x)+Du и v(x)+Dv (т.к.

Du=u(x+Dx)-u(x), Dv=v(x+Dx)-v(x))

Пусть y=u±v, тогда

Dy=[(u(x)+Du)±(v(x)+Dv)]-[u(x)±v(x)]=u(x)+Du±v(x)±Dv-u(x) v(x)=Du±Dv

3. Приращение функции у=UV:

у+∆у=(u(x)+∆u)(v(x)+∆v)-uv=u(x)v(x)+∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v-u(x)v(x)=

=∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v

Рассмотрим отношение приращений функции и аргумента:

=

Т.к. функция u=u(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна, следовательно , т.е. =0.

(или =0)

Т.о. = ч.т.д.

Доказательство 4. Представим функцию у= в виде у=u и сведем к предыдущему случаю.

= =- =

Тогда ч.т.д.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведения производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

Таблица производных.

1. С¢=0 (С=const)

2. =nx^n-1

3.

4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Пример. Вывод производной функции у=tg x и у=ctg x, используя правило 4.

Пример. Дифференцирование степенной функции.

Покажем, что

х^α= =e^αlnx

= e^αlnx =x^α·α· =αx^α-1 ч.т.д.

Производная степенно-показательной функции у=f(x)^g(x).

Рассмотрим логарифмическую производную, т.е. производную логарифмической функции: (относительная скорость изменения функции или темп изменения функции).

Тогда ln y=g(x)lnf(x). Дифференцируя, получим

.

Т.к. у=f(x)^g(x), получаем

Т.е. для того, чтобы найти производную степенно-показательной функции надо сначала дифференцировать ее как степенную, а потом как показательную функцию и полученные результаты сложить.

Пример. Найти производную функции у=х^х.

Дифференциал функции.

Подход к дифференциальному исчислению связан с аппроксимацией (приближением) функций.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке Х и точка х₀ÎХ. Дадим значению аргумента х₀ приращение Δх такое, что Δх≠0 и х₀+ΔхÎХ.

Пусть Δу=f(х₀+Δх)-f(х₀) – приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению Dх аргумента.

Если функция f(x) имеет в точке х₀ конечную производную , то приращение Δу этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх (1)

где α(Dx)→0 при Dx→0.

Если ≠0, то первое слагаемое в формуле (1) пропорционально величине Dх или линейно зависит от Dх.

Т.к. в этом случае ≠0, то слагаемое ×Dх является при Dx→0 бесконечно малой того же порядка, что и Dх.

Второе слагаемое a(Dх)×Dх правой части (1) при Dx→0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем Dх, т.к.

Определение. Д ифференциалом функции у=f(х) в точке х₀ называется произведение производной, вычисленной в этой точке, на приращение Dх аргумента:

dy= ×Dx (2)

Пример. Найти дифференциал функции у=х.

dy=dx=(x)¢×Dx=Dx.

Т.о. полагают, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, т.е. dx=Dx. (это своего рода соглашение).

Тогда вместо равенства (2) можно записать dy= ×dx (3) или

= (4)

Рассмотрим формулу Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх (1)

Если ≠0, т.е. dy≠0 при Dх≠0, то

Þ =1/

Значит в случае, когда ≠0, приращение функции Dу и ее дифференциал dy оказываются эквивалентными бесконечно малыми при Dх®0. Поэтому в этом случае верно приближенное равенство: Dу»dy (5)

Приближенное равенство (5) тем точнее, чем меньше Dх.

Формулой (5) пользуются в приближенных вычислениях, т.к. структура дифференциала функции dy проще структуры ее приращения Dу.

Пример. у=х³.

Dу=(х+Dх)³-х³=3х²×Dх+3х×(Dх)²+(Dх)³, а dy=3х² Dх

Если взять х=2, Dх=0,01, то Dу=3×4×0,01+3×2×0,0001+0,000001=0,120601, а dy=3×4 0,01=0,12. Т.о. абсолютная ошибка údy-Dуú=0,000601, относительная ошибка

Пример.

Найти производную функции

циклоида

=

Чтобы найти замечаем, что функция параметрически задается уравнениями , где ψ₁(t)= или ψ₁(t)= .

Тогда = = =

В рассмотренном примере =

Аналогично, считая, что функция задана параметрически уравнениями

, где ψ₂(t)=

Находим = = и т.д.

Дифференциальное исчисление.

Производная.

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀.

Дадим значению аргумента х₀ приращение ∆х=х-х₀ такое, что Dх≠0 и точка х=х₀+DхÎV(x₀). Тогда функция получит приращение

Dу=f(x)-f(x₀) или Dу=f(х₀+Dх)-f(x₀) – приращение функции.

Рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приближении точки х к х₀.

Определение. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, то этот предел называется производной функции в точке х₀:

(1)

Или (2)

Обозначения: , , , .

Если предел конечен, то производная называется конечной, если он бесконечен, то производная называется бесконечной. Процесс вычисления производных функций называется дифференцированием; точка х₀, в которой вычисляется производная, называется точкой дифференцирования.

Пример. Найдем по определению производную функций:

1) f(x)=С, f¢(x)=0.

2) f(x)=cos x

= = =

= =-2sin x₀· =-sin x₀. Т.о.

3) f(x)=sin x

= = =

= =-2× cos x₀= cos x₀.

4) f(x)=xⁿ (nÎN)

1. Случай n=1.

f(x)=x =

2. n=2,3,…

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

=

= → при Dх→0,

(xⁿ)¢=nx^n-1.

5) f(x)=a^x

= = =

Введем замену, t=a^∆x-1→0 при ∆х→0. Тогда а^∆х=t+1; ∆x=log_a(t+1)=

Получаем: = = = =

= = =

Т.о. в частности,

6) f(x)=log_ax

= =

В силу непрерывности функции f(x)=log_ax f(x)=log_ax имеем

Т.о.

Примеры функций, не имеющих производную.

1) f(x)=sign x=

В точке х₀=0 нет производной

f(0+Dx)-f(0)=

= - нет предела при Dх→0

2) f(x)=êхê- в точке х₀=0 нет производной (в положительной полуплоскости f¢(x)=х, в отрицательной - f¢(x)=-х). (График)

f(0+Dx)-f(0)= , , Þ нет предела при Dх→0