Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в некоторой точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть у=f(x) дифференцируема в точке х₀, тогда ее приращение в этой точке представимо в виде: Δу=А×Dх+a(Δх)×Dх,

Где А – некоторое число, не зависящее от Δх, а a - функция аргумента Δх такая, что a(Δх)→0 при Δх→0 (т.е. б.м. при Δх→0).

Следовательно, =0+0=0.

Т.е. бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции. А это означает, что функция у=f(x) непрерывна в точке х₀.(по эквивалентному определению непрерывности). Ч.т.д.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Так, например, функция у= является непрерывной в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к. при

при x>0 f(x)=x, =1,

при x<0 f(x)=-x, =-1.

График. Показать, что нет касательной в т х=0.

 

Правила дифференцирования.

Пусть функции U=U(x), V=V(x) дифференцируемы в точке х₀, тогда функции U±V, UV, CU, U/V также дифференцируемы в этой точке и справедливы равенства:

1. =0, где С=const

2.

3.

4. (V≠0)

Доказательство. 2) Дадим х приращение Dх. Тогда функции u(x) и v(x) получат соответственно приращения Du и Dv, их новыми значениями будут u(x)+Du и v(x)+Dv (т.к.

Du=u(x+Dx)-u(x), Dv=v(x+Dx)-v(x))

Пусть y=u±v, тогда

Dy=[(u(x)+Du)±(v(x)+Dv)]-[u(x)±v(x)]=u(x)+Du±v(x)±Dv-u(x) v(x)=Du±Dv

3. Приращение функции у=UV:

у+∆у=(u(x)+∆u)(v(x)+∆v)-uv=u(x)v(x)+∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v-u(x)v(x)=

=∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v

Рассмотрим отношение приращений функции и аргумента:

=

Т.к. функция u=u(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна, следовательно , т.е. =0.

(или =0)

Т.о. = ч.т.д.

Доказательство 4. Представим функцию у= в виде у=u и сведем к предыдущему случаю.

= =- =

Тогда ч.т.д.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведения производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

Таблица производных.

1. С¢=0 (С=const)

2. =nx^n-1

3.

4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Пример. Вывод производной функции у=tg x и у=ctg x, используя правило 4.

Формула для приращения функции.

Пусть функция у= f(y) определена в промежутке Х и в точке х₀ÎХ имеет конечную производную . Придадим х₀ произвольное приращение Dх≠0 и х₀+DхÎХ. Положим (*)

Ясно, что a зависит от Dх (a=a(Dх)) и

Из соотношения (*) находим f(x₀+Dx)-f(x₀)=[ +a(Dx)]×Dx

или Dу=[ +a(Dx)]×Dx (**) – формула для приращения функции.

Мы установили формулу (**) для Dх≠0, т.к. при Dх=0 соотношение (*) теряет смысл. Если доопределить функцию a(Dх) в точке Dх=0, то формулу (**) будет верна и для Dх=0. Будем полагать a(0)=0. Тогда формула (**) будет верной как для Dх≠0, так и для Dх=0 и соотношение будет верно независимо от того, по какому закону Dх→0 (хотя бы Dх и принимало значение нуль).

Производная сложной функции.

Пусть даны функции f и φ: . Т.е. функция y=f(u) определена в промежутке U, а функция u=j(х) определена в промежутке Х и если хÎХ, то j(х)ÎU. Тогда для хÎХ имеет смысл выражение F(x)=f(j(x)) – сложная функция.

Теорема. Пусть 1) функция u=j(x) имеет в некоторой точке х₀ производную , 2) функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u₀=j(x₀) производную . Тогда сложная функция y=f(j(x)) так же имеет производную в точке х₀ и она равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е.

Доказательство. Придадим х₀ произвольное приращение Dх≠0 и х₀+DхÎХ. Тогда функция u=j(х) получит приращение Du=j(х₀+Dх)-j(х₀).

Т.к. y=f(u), то приращению Du соответствует приращение Dy=f(u₀+Du)-f(u₀).

По формуле приращения функции (**)Dy=[ +a(Du)]×Du,

где a(Du)→0, при Du→0. Тогда =[ +a(Du)]×

Пусть Dх®0. Тогда, т.к. функция u=j(х) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в точке х₀ и, следовательно, Du®0. Поэтому и a(Du)→0, при Dх→0. Получаем

Т.е. существует и ч.т.д.

Пример. (Вводим цепочку вспомогательных функций)

1)

2) у=sin lnx 3)y=

Пример. Дифференцирование степенной функции.

Покажем, что

х^α= =e^αlnx

= e^αlnx =x^α·α· =αx^α-1 ч.т.д.

Производная степенно-показательной функции у=f(x)^g(x).

Рассмотрим логарифмическую производную, т.е. производную логарифмической функции: (относительная скорость изменения функции или темп изменения функции).

Тогда ln y=g(x)lnf(x). Дифференцируя, получим

.

Т.к. у=f(x)^g(x), получаем

Т.е. для того, чтобы найти производную степенно-показательной функции надо сначала дифференцировать ее как степенную, а потом как показательную функцию и полученные результаты сложить.

Пример. Найти производную функции у=х^х.