Дифференциалы высших порядков.

 

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y) = δ [ f ' (x) d x ] = [ f ' (x) d x ] ' δ x = f '' (x) d (x) δ x.

Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d ² y, т.е.

d ² y = f ''(x)·(dx)².

В свою очередь, дифференциал δ(d ² y) от дифференциала d ² y, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f (x) и обозначается d ³ y и т.д. Дифференциал δ(d ^n-1y) от дифференциала d^{n -1} f, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f (x) и обозначается dⁿy.
Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула

dⁿy = y ⁽ⁿ⁾·(dx) ⁿ, n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1

d^{n −1} y = y^{(n −1)}·(dx) ^{n −1},

и функция y ^{(n -1)}(x) дифференцируема в некоторой точке x. Тогда

Полагая δ x = dx, получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n - я производная функции y = f (x) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.

 

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на [ a, b ],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.
Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [ a, b ], и теорема доказана.
Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [ a, b ] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f (a) = f (b) равные значения, существует точка (c; f (c)), в которой касательная параллельна оси Оx.

Теорема Лагранжа

Если функция f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f (a)), (b, f (b))

y = f (a) + Q ·(x - a),

где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F (x) = f (x) − f (a) − Q ·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).