Гиперболические функции. Их свойства и дифференцирование.

В приложениях показательные функции часто встречаются в комбинациях

Вследствие этого эти комбинации получили особые названия. Первую называют гиперболическим косинусом, обозначая его через ch x (cos hyp х), а вторую - гиперболическим синусом, обозначая его через sh x (sin hyp x). Таким образом имеем

Эти обозначения и названия введены по аналогии с известными формулами Эйлера для тригонометрических функций

Исходя из равенств, определяющих sh x и ch x, можно развить теорию гиперболических функций. Формулы ее весьма схожи с формулами обыкновенной тригонометрии. Нетрудно проверить, что

ch (- х) = ch х, sh (- х) = - sh x, ch xi = cos x, sh xi = i sin x, ch² x - sh² x = 1.

Рассматривают также гиперболические тангенс и котангенс, определяя их с помощью равенств

Теорема сложения для гиперболических функций имеет вид

ch (x + y) = ch x ·ch у + sh x ·sh у,
sh (x + y) = sh х ·ch у + sh y ·ch x.

Нетрудно видеть, что

sh 2 х = 2 sh х ·ch x, ch 2 x = ch² x + sh² x,
.

В приложениях приходится рассматривать и обратные гиперболические функции. Если положим ch x = u и sh v = v, то x = Arch u = = arsh v. Здесь Ar происходит от латинского слова «area» Из этих двух функций первая двузначна, а вторая однозначна. Решая уравнения

относительно е^х, находим

,

откуда

.

Следовательно,

.

Впервой из этих двух формул допустимы перед корнем оба знака. Во второй - только один, ибо при отрицательном знаке логарифм перестает быть вещественным.

 

Дифференцируемость функции.

Дифференцируемость функции

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

В силу геометрического смысла производной следующие два свойства равносильны друг другу: 1) функция дифференцируема при ; 2) график этой точки имеет касательную в точке , не параллельную оси ординат (т.е. с конечным угловым коэффициентом).

 

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть в некоторой точке области определения функции существует конечный предел

Запишем приращение функции в виде

и найдём

Следовательно, если , то и , а это означает, что функция непрерывна в рассматриваемой точке.

 

Таким образом, из дифференцируемости функции вытекает её непрерывность. Обратная теорема неверна, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках являются недифференцируемыми.

 

Пример 3. Функция

непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке, так как в ней график не имеет касательной. (рис. 79).

 

Из сказанного выше следует, что непрерывность в точке x является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке, так как из непрерывности функции в точке не всегда следует дифференцируемость в этой точке.