Типичные величины высшего порядка дискретной случайной переменной (моменты)

Моменты. Кроме первого и второго моментов, при описании случайных величин иногда используются и другие моменты: третий, четвертый и т.д. Мы дадим их определения отдельно для дискретных и

для непрерывных случайных величин.

Определение. Для дискретной случайной величины ξ со значениями x1, x2,..., имеющих вероятности p1, p2,..., k _ым моментом Mξ^k называется величина Mξk = , а k _ым центральным моментом называется величина (xi − Mξ)^kpi. Для непрерывной случайной величины с плотностью p(x), k _ым моментом называется величина , а k _ым центральным моментом называется величина M(ξ − Mξ)k =

Чтобы приведенные формулы имели смысл, требуется, чтобы суммы и интегралы сходились абсолютно. Так же, как математическое ожидание и дисперсия, моменты существуют не для всех случайных величин.

Определение типичных величин непрерывной случайной переменной. Типичные величины положения.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями: Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом n>0 называемым числом испытаний, и вещественным числом p, 0 ≤ p ≤ 1 называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью p, то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение.

Функция вероятности Функция распределения

Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение — это дискретное вероятностное распределение, которое описывает количество успехов в выборке без возвращений длины n над конечной совокупностью объектов. Это выборка из N объектов, из которых m дефектных. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что именно k дефектных в выборке из n конкретных объектов, взятых из совокупности.

Если случайная величина распределена гипергеометрически с параметрами N, m, n тогда вероятность получить ровно k успехов (дефектных объектов в предыдущем примере) будет следующей:

.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения. Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

.

Нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия. Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

· отклонение при стрельбе

· некоторые погрешности измерений (однако, многие погрешности приборов в технике имеют сильно не нормальные распределения)

· рост живых организмов

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).

Плотность вероятности Функция распределения

Закон распределения хи-квадрат.

Распределение (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

 

 

Плотность вероятности Функция распределения

Распределение Стьюдента

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Плотность вероятности Функция распределения

Распределение Парето.

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето.

Плотность вероятности Функция распределения