Работа при перемещении витка с током в постоянном магнитном поле.

 

Рассмотрим сначала частный случай. Пусть параллельные проводники и (см. рис.) помещены в однородное постоянное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка и направленное к нам. Слева находится источник тока, не показанный на рисунке. По проводам может свободно перемещаться проводящий мостик , замыкающий ток , текущий по проводам левее мостика. Если — длина мостика, то на него магнитное поле действует с силой . При перемещении мостика на эта сила совершает работу

,

где — площадь прямоугольника . Величина есть магнитный поток через тот же прямоугольник. Обозначив его через , получим для элементарной работы

,

а для конечной работы

.

Таким образом, работа, совершаемая магнитным полем над током, равна приращению магнитного потока, умноженного на ток. При выводе предполагалось, что ток при перемещении мостика поддерживается постоянным.

Результат справедлив и при произвольном направлении магнитного поля. Чтобы убедится в этом, разложим вектор на три составляющие: . Составляющая вдоль мостика параллельна току в нем и не оказывает на мостик силового воздействия. Составляющая вдоль перемещения дает силу, перпендикулярную к перемещению и работы не производит. Работа производится лишь составляющей , перпендикулярной к плоскости рисунка, в которой перемещается мостик .

Докажем теперь, что полученные формулы справедливы для любого витка с током при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле. Виток может не только перемещаться, но и произвольно деформироваться. Для доказательства достаточно мысленно разбить виток на бесконечно малые элементы тока и рассмотреть бесконечно малые перемещения их. При бесконечно малом перемещении элемента тока магнитное поле, в котором он перемещается, может считаться однородным. Суммируя перемещения всех малых элементов, получаем выражение для элементарной работы. Интегрируя затем, получаем вновь выражение для конечной работы. Необходимо подчеркнуть, что ток в витке должен поддерживаться постоянным.

Если в магнитном поле перемещается катушка с намотанным на нее многократно проводом, то в работе по ее перемещению необходимо учесть перемещение каждого витка. И тогда в окончательном выражении работы будет вместо магнитного потока стоять сумма магнитных потоков через все витки

.

Величина носит название потокосцепления. Если все потоки одинаковы, то

,

где — число витков катушки, а работа по перемещению катушки суть

.

 

Самоиндукция. Коэффициенты индуктивности.

Мы знаем, что всякий ток в проводнике создает магнитное поле. Но это поле, начав изменяться, в свою очередь влияет на вызвавший его ток. Это явление называется самоиндукцией.

 

Если в пространстве нет ферромагнетиков, то магнитный поток через виток с током пропорционален протекающему в нем току носит название коэффициента самоиндукции провода. Он зависит только размеров и конфигурации проводника. Тогда закон электромагнитной индукции будет следующим

.

 

.

Для длинного соленоида вычисляется и равно

, где — плотность витков на единицу длины, а — объем пространства внутри соленоида.

В системе СИ единицей измерения коэффициента самоиндукции является Гн (генри, ).

Если рядом расположенных проводников с токами много, то кроме коэффициентов самоиндукции вводятся коэффициенты взаимной индукции, которые описывают часть ЭДС индукции, возникающей под воздействием другого тока

.

Коэффициенты взаимной индукции также измеряются в Гн.

 

Энергия магнитного поля.

Вычисление энергии проводника приводит к формуле

.

В случае длинного соленоида эта формула преобразуется к

.

Отсюда легко получить плотность энергии магнитного поля ()

.

Эта формула годится при любой конфигурации магнитного поля.

 

Ток смещения.

Начнем с теоремы о циркуляции магнитного поля:

.

означает алгебраическую сумму всех токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром . Это уравнение может быть переписано в дифференциальном виде:

,

(1)

где — вектор плотности тока. Как мы сейчас увидим, это уравнение не полно. Вспомним, что закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме выглядит так:

.

Теперь применим оператор дивергенции к уравнению (1). Так как всегда дивергенция, примененная к ротору, дает нуль, то получается:

.

Такой вариант закона сохранения заряда получается только в случае, когда плотность заряда не зависит от времени, т.е. задача стационарна. Но уравнения электромагнитного поля должны выполняться и для переменных полей. Следовательно, к правой части уравнения (1) надо добавить член, чтобы дивергенция от правой части всегда обращалась в нуль.

Такой член можно получить, воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора смещения электрического поля:

.

Эта формула получена из известной вам теоремы Гаусса умножением на ( в вакууме), заменой вектора напряженности электрического поля на вектор смещения и обозначением алгебраической суммы всех зарядов внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью , через . В дифференциальном виде это уравнение выглядит так:

.

Дифференцируя это соотношение по времени, получаем:

.

Точка над вектором смещения означает производную по времени.

Пользуясь теперь уравнением закона сохранения заряда, получаем:

,

то есть производная по времени от вектора смещения должна быть добавлена в теорему циркуляции магнитного поля. Максвелл назвал этот член плотностью тока смещения , а сумму обычного тока и тока смещения полным током. Конечно ток смещения никакой не ток, но ведет себя подобно ему в нестационарных задачах.

Окончательно

.

(2)

Уравнение (2) является одним из уравнением Максвелла.

Вопрос: а действительно ли существует такой ток смещения. Ответ: результат Максвелла давно подтвержден на эксперименте. На рисунке справа представлен один из таких экспериментов. На нем нарисован конденсатор, присоединенный к цепи переменного тока. В случае переменного тока в промежутке между обкладками электрическое поле становится переменным и там же возникает магнитное поле, которого в электростатике не наблюдается.

То есть Максвелл (теоретик) открыл, что изменение электрического поля создает магнитное поле. Аналогично закону электромагнитной индукции.