Сравнительный анализ метода сил и метода перемещений. Выбор метода расчета стержневой системы.

Метод сил и метод перемещений - два основных метода оп­ределения внутренних усилий в статически неопределимых (СН) сис­темах. В них можно выделить качественно одинаковые этапы.

Установление количества неизвестных - степени СН в методе сил и степени кинематической неопр-ти в методе перемещений по трудоемкости практически одинаковы.

Оба метода предполагают использование основной системы(ОС). В методе сил ОС принимают в основном статически определимой путем удаления лишних связей. Для одной и той же системы можно предложить множество вариантов ОС, удовлетворяющих всем необходимым требовани­ям. Поэтому выбор рациональной ОС - одна из задач, решаемых при расчетах методом сил.

В расчетах методом перемещений ОС форми­руют путем введения дополнительных связей, что повышает сте­пень статической неопределимости, однако делает конструкцию кинематически определимой. Преимущество в том, что ОС практически единственная. Для многих рамных каркасов она позволяет получить неполные канонические уравнения и тем самым упростить расчет.

Канонические уравнения метода сил и метода перемещений по структуре одинаковые. Отличие лишь в физическом смысле этих уравнений и входящих в них величин. При большом числе неиз­вестных канон. ур-я метода перемещений неполные. В методе сил этого надо добиваться специальными приемами.

В обоих методах в ОС строятся единичные и грузовая эпюры внутренних усилий. При расчете рам и балок, как правило, ограничиваются эпюрами изгибающих моментов. В методе перемещений их построить проще, так как можно исполь­зовать табличные решения.

Коэффициенты и свободные члены канон. ур-й в методе перемещений из уравнений статики определить проще, чем аналогичные величины перемножением эпюр в методе сил.

Приемы построения окончательных эпюр внутренних усилий в обоих методах идентичны.

Анализируя вычислительные операции обоих методов при расчете рам, можно отметить, что в методе перемещений они не­сколько проще, чем в методе сил. Таким образом, метод переме­щений обладает преимуществами перед методом сил.

Выбор метода расчета стержневой системы. Как правило, предпочтение отдают ме­тоду с меньшим количеством неизвестных: если nc < nк, исполь­зуют метод сил, если nc > nк - метод перемещений. При равном количестве неизвестных (nc =nк) выбирают метод перемещений.

Однако метод перемещений удобен не для всех стержневых систем. Этот метод становится весьма сложным и утрачивает свои преимущества, если расчет ведется с учетом деформаций стерж­ней от поперечных и продольных сил. Метод сил в этом случае осложняется гораздо меньше.

Например, для шарнирных ферм число неизвестных по методу перемещений всегда больше, чем по методу сил. Если система содержит криволинейные или другие нестандартные элементы, не рассмотренные в таблицах, построение эпюр в основной системе метода перемещений резко усложняется. Для этого в том или ином виде необходимо использовать метод сил. Поэтому для арок, где учитываются моменты, поперечные и продольные силы М, Q, N, также удобен метод сил.

Таким образом, выбор метода расчета определяется прежде всего числом основных неизвестных и применимостью того или иного метода к расчету стержневой системы данного типа.

 

21. Смешанный метод (основная система, канонические уравнения, построение окончательных эпюр внутренних усилий и их проверка).

В одной части конструкции основ­ная система(ОС) смешанного метода образуется устранением связей, как в методе сил, в другой части - введением связей, как в мето­де перемещений. Соответственно, основными неизвестными яв­ляются реакции отброшенных связей, а также угловые и линей­ные перемещения узлов.

Рассмотрим статически неопределимую раму (рисунок 10.1, а), которая в левой части содержит мало лишних связей, но каждый ее узел может смещаться линейно и поворачиваться. В правой части рама имеет много связей, но обладает малой подвижностью узлов.

Подсчитаем степень статической и кинематической неопреде­лимости:

n_с = 3К - Ш = 3 * 3 - 1 = 8; n_к = n_у + n_л = 6 + 3 = 9.

ОС метода сил и метода перемещений показа­ны на рисунке 10.1, б, в. Они довольно сложные для расчета из- за большого количества неизвестных.

 

Если же левую часть рассчитывать методом сил, правую - ме­тодом перемещений, количество неизвестных будет значительно меньшим:

где -степень СН левой части рамы;

-степень кинематической неопределимости правой части.

Основная система смешанного метода показана на рисун­ке 10.1, д. Здесь в левой части отброшены две лишние связи и заменены силами X₁, X₂, в правой части введены две плавающие заделки и заданы углы их поворота Z₃, Z₄. Заметим, что неиз­вестные нумеруются последовательно: сначала неизвестные мето­да сил, затем - метода перемещений.

Канонические уравнения. Как и неизвестные, канони­ческие уравнения смешанного метода будут двух видов: уравне­ния метода сил и метода перемещений. Их количество определя­ется количеством неизвестных усилий и перемещений.

Например, для рамы на рисунке 10.1 система канонических уравнений имеет вид:

(10.1)

Здесь первое и второе уравнения составлены по методу сил, так как неизвестные Х₁, X₂ - силы, третье и четвертое - по мето­ду перемещений, так как Z₃, Z₄ - перемещения.

Во все уравнения входят оба вида основных неизвестных. При этом коэффициенты подразделяются на четыре типа:

δ ik - «перемещение от силы»: перемещение по направлению усилия Хi, вызванное единичным усилием, приложен­ным в направлении X_k;

δ'_ik - «перемещение от перемещения»: перемещение по на­правлению усилия Xi, вызванное единичным смещением связи k;

r_ik - «реакция от перемещения»: реакция связи i от единич­ного смещения связи k;

r'i_k - «реакция от силы»: реакция связи i, вызванная единич­ным усилием, приложенным в направлении X_k.

Коэффициенты δ, r в уравнениях (10.1) и свободные члены Δ, R вычисляются способами, изложенными при изучении методов сил и перемещений.

Реакции r' удобно находить, как и r, из равновесия вырезан­ных узлов или частей конструкции с введенными связями в соот­ветствующих состояниях, вызванных единичными силами.

Перемещения δ' можно определить из геометрических сообра­жений (рисунок 10.2). Однако их проще вычислять по теореме о взаимности единичных реакций и перемещений в стати­чески неопределимых системах (второй теореме Рэлея):

Построение окончательных эпюр внутренних усилий и их проверка. Решив систему канонических уравнений, находим усилия X и перемещения Z. Для рамы, изображенной на рисунке 10.1,

где M₁, M₂ - изгибающие моменты в основной системе смешан­ного метода_от единичных усилий, приложенных по направлени­ям X₁, X₂; Z₃, Z₄ - то же, от единичных перемещений 3-й и 4-й дополнительных связей; M_p - то же, от внешней нагрузки.

При расчете рам и балок поперечные силы Q обычно вычис­ляют по значениям изгибающих моментов M, а продольные силы N - по значениям поперечных сил.

Проверки построенных эпюр такие же, как и при расчетах методом сил: статическая и деформационная для эпюры изги­бающих моментов; проверка равновесия системы в целом для ус­тановления правильности эпюр поперечных и продольных сил.