Определение внутренних усилий в рамах методом перемещений и их проверка. Алгоритм расчета.

На основании принципа суперпози­ции достаточно «собрать» результаты отдельных частных расчетов.

Таким образом, значения изгибающих моментов в заданной системе получаются по зависимости:

(9.10)

где k, Mp - изгибающие моменты в основной системе от еди­ничного перемещения k-ой дополнительной связи и от внешней нагрузки соответственно.

Изгибающие моменты в заданной системе, вычисленные по формуле (9.10), часто называют окончательными. В отличие от них, моменты, найденные ранее в основной системе, считаются промежуточными или вспомогательными. Единичные эпюры, ум­ноженные на соответствующие значения Z1; Z2,..., Zn, иногда называют «исправленными» эпюрами.

Определение поперечных и продольных сил. При расче­те рам и балок поперечные силы Q вычисляют по значениям из­гибающих моментов M, а продольные силы N - по значениям по­перечных сил. Для плоских рам удобно использо­вать следующие приемы. Поперечные силы Q могут быть найдены по значениям изги­бающих моментов M. Если эпюра M на участке стержневой сис­темы прямолинейна, удобно пользоваться дифференциальной зависимостью при изгибе

По этой зависимости, поперечная сила равна тангенсу угла на­клона прямолинейной эпюры моментов. Правило знаков следую­щее: сила Q считается положительной, если для совмещения оси стержня с эпюрой М ось необходимо вращать по часовой стрелке (рисунок 7.10).

Если эпюра M на участке непрямолинейна, поперечную силу удобно находить, вырезая участок и составляя для него уравнения равновесия.

Пусть, например, для рамы построена эпюра изгибающих мо­ментов (рисунок 7.11, а). Чтобы найти поперечные силы на уча­стке АВ, вырежем его и приложим к сечениям известные момен­ты и пока неизвестные силы (рисунок 7.11, б).

Моменты направляем так, как следует из эпюры изгибающих моментов М: эпюра построена на растянутых волокнах, значит, в сечениях А и В растянуты верхние волокна. Поперечные силы считаем положительными, т. е. они вращают рассматриваемый участок по часовой стрелке.

Составим уравнения моментов относительно точек А и В

По полученным значениям строим эпюру Q (см. рису­нок 7.11, б). В сечении с абсциссой где Q = 0, изгибающий мо­мент экстремален. Чтобы его найти, вырезаем участок длиной z0 (рисунок 7.11, в), из уравнения проекций на вертикальную ось Qa - qz0 = 0 определяем z0 = QA / q. Экстремальный момент нахо­дим из уравнения

Продольные силы N могут быть найдены по значениям попе­речных сил Q. Для этого необходимо отсечь отдельные стержни или вырезать узлы рамы, составить уравнения проекций на оси координат, из которых выразить искомые усилия.

Проверки правильности определения внутренних уси­лий. В методе сил проверкой правильности определения внутрен­них сил было соблюдение условий совместности деформаций в заданной системе (деформационная, или кинематическая провер­ка). В методе перемещений, напротив, эти условия автоматически выполняются при любых перемещениях узлов Zx, Z2,..., Zn. Кри­терием правильности решения задачи является, очевидно, то, что внутренние усилия, вычисленные по данным перемещениям, удовлетворяют и всем условиям равновесия системы (статиче­ская проверка).

Фактически надо убедиться, что в условно введенных связях основной системы полные реакции равны нулю, т. е.

Для этого надо вырезать узлы и части конструкции и прове­рить, находятся ли они в равновесии под действием только внут­ренних усилий, приложенных в местах разрезов.

Проверка эпюры изгибающих моментов вычислением реакций связей. В п. 9.4.2 была получена формула (9.6) для определения реакции i-ой дополнительной связи, предполагающая перемноже­ние эпюр i и Mр . Здесь под Mр понимается эпюра от нагрузки в любой системе, не содержащей i-ой дополнительной связи. То есть, можно взять заданную статически неопределимую систему, в которой построена эпюра M от нагрузки. Тогда

Суммируя все грузовые реакции, получим

 

(9.11)

Условие (9.11) является необходимым и при верно построен­ных исходных единичных и грузовой эпюрах достаточным усло­вием правильности эпюры М.

Порядок расчета рам методом перемещений. Расчет ста­тически неопределимых рам, а также балок, работающих на из­гиб, удобно вести в следующем порядке:

1) вычисление степени кинематической неопределимости nK;

2) формирование основной системы;

3) составление системы канонических уравнений;

4) построение единичных и грузовой эпюр в основной системе;

5) вычисление единичных и грузовых реакций и их проверка;

6) решение системы канонических уравнений;

7) построение эпюры изгибающих моментов М и ее проверки;

8) построение эпюры поперечных сил Q (по готовой эпюре М);

9) построение эпюры продольных сил N (по готовой эпюре Q);

10) статическая проверка равновесия рамы в целом.

17.Расчет рам методом перемещений на изменение температуры (канонические уравнения при температурном воздействии, определение «температурных» реакций, определение внутренних усилий и их проверка).

Как известно, неравномерный нагрев волокон каждого из элементов системы проиводит к изменению длин и искревлению в рез-те чего возникают внутренние усилия.

Общий расчет на температурное воздействие тот же, сто и при силовом:

1)основная система формируется введением дополнительных связей.

2)канонические уравнения имеют вид

………………

Т.е вместо грузовых реакций, канонические уравнения содержат температурные реакции ….. . Для того чтобы их найти, отдельно рассматривают статически неопределимые стержни, неравномерно нагретые сверху и снизу.

Решаем задачу по методу сил

«-«По тому что эпюра находится со стороны более холодных волокон.

Кроме изгиба температурное воздействие вызывает удлинение стержней на

Где -приращение температуры на уровне центра тяжести сечения.

Замечание: если вместо опорного стержня на торце находится шарнир, то удлинение от действия температуры не происходит. При этом в правой опоре возникает гор. реакция . Которую необходимо учитывать в расчетах.

 

Рассмотрим расчет о.с м.п. при температурном воздействии:

По принципу суперпозиции можно раздельно рассматривать равномерный и неравномерный нагрев элемента.

Данная рамма имеет один жесткий узел.

1) Равномерный нагрев.

Пусть элементы нагреваются на , в результате они удлинились. Для симметричного сечения

Плавающая заделка сместилась линейно. Стержени изогнулись. В этом случай эпюру изгиб. Моментов можно построить по табл.,используя результаты для ед. смещения и умножая их на реальные смещения узлов.

 

2) Неравномерный нагрев

Эпюру для каждого участка строим по табл

Далее рассматриваем равновесие узла при равномер. И неравномер. Нагреве определяем и .

По принципу суперпозиции находим =

Каноничекое уравнение

Z1 определяем из каноничесого уравнения

Окончательная эпюра моментов строится как и при силовом воздействии, только Мр–Мt0 и M t

Q- по эпюре М

N- по эпюре Q

Делаем деф. проверку

 

 

18.Расчет рам методом перемещений на смещение опор (канонические уравнения метода перемещений при кинематическом воздействии, определение реакций в основной системе от кинематического воздействия, определение внутренних усилий и их проверка).

Смещение опорных связей вызывает изгиб элементов и следовательно возникновение внутренних усилий

Порядок расчета вцелом остается прежним как и при силовом воздействии

1 опр.ст. кинем неопредел.

2 формируем осн.сист.

3 сосот. Систему канонич.ур-ний

 

 

Для удобства перемещения как заданные(С1,С2,φ) так и неизвестные (Z1,Z2) изображае в виде стрелок с указанием направлений

 

Основная система

 

+ + + =0

+ + + =0

+ + + =0

Где -реакция i-ой связи от заданных смещений опор. Эти реакции удобно определять как сумму 2-х составляющих = + где -рекция ш-ой связи от угловых и линейных смещений опор.

4 ед.эпюры в осн.системе. и определение единичных реакций

5 исследование воздействия угловыхсмещений опорных связей,построение эпюры

Задаем смещение заделок на углы φ1 и φ2

 

 

Сост φ о.с.

 

(2)

Строим эпюру по таблице приложения, умножаем данные от единичных углов поворота на значение реальных смещений

 

 

 

При определении реакций вырезаем узлы рамы состояния φ и рассм. их равновесие

 

 

6 исследование линейных смещений опорных связей (сост δ) построение ипюры Мδ и определ

 

сост δ

 

по таблицам с учетом заданных линейных смещений, умножая табличные данные на величины поперечных смещений узлов каждого стержня

 

 

 

7 решаем систему канонических уравнений Z1,Z2,Z3

8 построение эпюры изгибающих моментов

M= *Z1+ *Z2+ * Z3+ Мδ+ Мφ

9 проверка эпюры моментов

Где МΣ – суммарная единичная эпюра

10 построение эпюры Q по M

11 построение эпюры N по Q

12 статическая проверка равновесмя рамы

19 Расчет неразрезных балок методом перемещений (рекомендации по формированию основной системы, канонические уравнения)

Основная система ее формирование:

Основная система получается введением плавающих заделок в узлы которым придаются углы поворота Z1, Z2. Очевидно что при отбрасывании консоли количество неизвестных будет меньше.

Порядок расчета:

1. Определение степени кинематической неопределимости балки:

 

, (1.11)

 

где – число неизвестных углов поворота, равное числу «жестких» узлов расчетной схемы.

– число независимых линейных перемещений узлов расчетной схемы (для неразрезных балок = 0).

2. Выбор основной системы.

Для неразрезной балки основная система получается введением заделок над опорами (рис. 1.1, в). За неизвестные принимаются углы поворотов сечений балки над опорами .

3. Канонические уравнения метода перемещений.

Для трижды кинематически неопределимой балки, канонические уравнения метода перемещений имеют вид:

 

, (1.12)

 

где – значение единичного коэффициента; – значение грузового коэффициента; – значение неизвестного перемещения.

4. Определение коэффициентов канонических уравнений.

Для определения коэффициентов необходимо построить единичные и грузовые эпюры, используя таблицы реакций.

Для нахождения коэффициентов можно применить два способа:

а) статический способ;

б) способ перемножения эпюр.

По статическому способу единичные коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных заделках, определяются из условий равновесия вырезаемых из основной системы узлов в виде .

По второму способу коэффициенты при неизвестных определяются путем интегрирования (перемножения) соответствующих эпюр:

 

, (1.13)

где – эпюры от единичных перемещений введенных связей, построенные в основной системе метода перемещений.

Свободные члены канонических уравнений определяются по формуле:

 

, (1.14)

где – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, образованной из заданной (т. е. в основной системе метода сил).

5. Решение системы канонических уравнений.

Найденные коэффициенты при неизвестных и свободные (грузовые) члены подставляются в канонические уравнения, решение которых дает значения неизвестных перемещений .

6. Построение расчетной эпюры изгибающих моментов.

Расчетная эпюра изгибающих моментов строится по формуле:

 

, (1.15)

 

где – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от нагрузки; – эпюры изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от единичных перемещений введенных связей; – найденные значения перемещений узлов.

Для контроля расчетной эпюры изгибающих моментов служат:

а) статическая проверка, которая заключается в проверке условий равновесия узлов системы.

б) деформационная проверка

 

, (1.16)

где – эпюра изгибающих моментов, построенная в основной системе метода сил от действия любого i-гонеизвестного метода сил (или суммарной единичной эпюры метода сил).

7. Построение эпюры поперечных сил.

Эпюра поперечных сил Q строится по расчетной эпюре изгибающих моментов (1.6). Для контроля производится статическая проверка.