Б11: Кручение стержня круглого сечения. Напряжение и перемещение при кручении.

Кручение Понятия и определения

Цилиндрический брус, закрепленный одним концом и нагруженный парой сил с моментом Т, действующим в поперечном сечении этого бруса, претерпевает деформацию кручения (Рис.1) , при этом рассмотрим следующие допущения связанные с оценкой внутренних сил, напряжений и перемещений при кручении:

1.Ось бруса (цилиндра) не деформируется;

2.Нормальные поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси цилиндра после приложения момента сил (гипотеза плоских сечений);

3.Равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого на равные углы;

4.Угол поворота концевого сечения (φ-полный угол закручивания) относительно закрепления

5.При кручении цилиндра в его поперечном сечении возникают только касательные напряжения.

Определения внутренних силовых факторов при кручении.

При действии нескольких разнонаправленных крутящих моментов, крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, действующих слева, или справа от рассматриваемого сечения.

Дано: вал – 1, в подшипниках 2. Вращаются три шкива. Все определено.

Решение: за положительное направление выбираем положительное направление вращения часовой стрелки.

Напряжения и перемещения при кручении

- относительный сдвиг;

r - полный радиус;

- текущий радиус (текущая полярная координата);

- элементарный угол закручивания на длине dx;

- линейное перемещение (относительный сдвиг);

СС₁ - абсолютный сдвиг на длине dx.

- относительный угол закручивания;

Согласно гипотезе плоских сечений, при кручении радиусы остаются прямыми, тогда зависимость относительного сдвига для произвольного радиуса можно записать в виде:

Только что рассмотренная формула показывает, что при кручении реализуется неравномерный сдвиг при сдвиговой деформации нет, а при она максимальна.

Согласно закону Гука, для сдвиговой деформации касательные напряжения будут определяться из формулы:

(1)

тогда из (*) и (1):

при

Поперечная сила может быть выражена через касательное напряжение:

(3)

dQ – элементарная поперечная сила.

Элементарный крутящий момент, действующий на расстоянии определиться как:

В сопротивлении материалов принято, что ∫ ρ² dA= J_ρ и является полярным момент инерции сечения (геометрическая характеристика сечения, которая учитывает и форму сечения).

Относительная деформация в сечении прямо пропорциональна действующему моменту в этом сечении, и обратно пропорциональна жесткости стержня (жесткость при кручении определяется как произведение модуля сдвига на полярный момент инерции).

При равномерном распределении касательных напряжений

- полный угол закручивания; φ=Θ

- длина участка;

c учетом (***) ≤[φ] –условие жесткости при кручении

Ранее была получена зависимость:

c учетом (***) получим

В соответствии с этой формулой можно оценить действующие касательные напряжения с учетом места и формы сечения.

- полярный момент сопротивления (геометрическая характеристика сечения).

Условие прочности при кручении

Условие жесткости при кручении может быть представлено следующим образом:

Полярные моменты инерции для круглого сечения

Ранее была предложена зависимость:

Приближенная формула для определения полярного момента сопротивления плоского сечения

Для кольцевого сечения

d – внутренний диаметр;

D – внешний диаметр.

Используя свойства интеграла, получим:

Б12: Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Для расчетов на прочность используются условия прочности и жесткости. ,

Эти условия позволяют решать основные типы задач сопротивления материалов (проверочные, проектные, задачи на определение несущей способности).

Особенности решения статически неопределимых систем, при кручении, заключаются в том, что известные алгоритмы решении рассматриваются с позиции совместных перемещений, при кручении, в соответствии с законом Гука и использованием выражения:

Пример решения задач на кручение

1.Статически определимая

1.Определение внешнего крутящего момента Т₁ (из условия равновесия) Т₁=Т₂+Т₃+Т₄=6*10³ Н*м

2.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала. (как внутренний силовой фактор)

Т_AB= -Т₂= -2,7*10³ Н*м

Т_BC= -Т₂+Т₁=3,3*10³ Н*м

Т_CD= -Т₂+Т₁+Т₃=1,3*10³ Н*м

3.Определение диаметра вала из условия прочности

4. определение диаметра вала из условия жесткости

Анализируя результаты мы можем считать что более жестким является условие жесткости, тогда принимаем d=100мм

5.Принимаем, что φ_А=0

Пример решения статически неопределимой задачи.

 

 

Дано: Т₃=2*10³ Н*м

Т₄=1,3*10³ Н*м

G=8*10⁴ МПа

[Θ]=0,25 °/м

1.Определение внешнего крутящего момента Т₁ (из условия равновесия) Т₁=Т₂+Т₃+Т₄=6*10³ Н*м

2.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала. (как внутренний силовой фактор)

Т_AB= -Т₂= -2,7*10³ Н*м

Т_BC= -Т₂+Т₁=3,3*10³ Н*м

Т_CD= -Т₂+Т₁+Т₃=1,3*10³ Н*м

3.Определение диаметра вала из условия прочности

4. определение диаметра вала из условия жесткости

 

Анализируя результаты мы можем считать что более жестким является условие жесткости, тогда принимаем d=100мм

5.Принимаем, что φ_А=0

Пример решения статически неопределимой задачи.

Дано:

Т=2*10³ Нмм

а=1м

d=100мм

G=8*10⁴МПа

Требуется построить эпюры Т_х и φ_х.

Решение:

1.Статика

Т_А-Т₁+Т_С=0 –уравнение равновесия, одно уравнение с двумя неизвестными (система статически неопределима).

2.Геометрия

φ_AB+ φ_BC=0 углы закручивания.

3.Физика

4.T_AB=T_A

T_BC=T_A-T

T_A*a+(T_A-T)2a=0

3T_A-2T=0

5.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала.

T_AB= -T_A=8*10³ Нм

Т_BC=T_A-T= -4*10³ Нм

6.Определение углов закручивания

φ_А=0