Сложное сопротивление. Изгиб с кручением

Основные теоретические сведения

Валы служат для передачи крутящего момента вдоль своей оси и поддержания вращающихся деталей, установленных на них.

Статический расчет вала, рассматриваемый в задании 7, является лишь частью полного расчета, состоящего из нескольких этапов.

Нагрузки, передаваемые на вал от сопряженных деталей, вызывают появление в поперечных сечениях вала внутренних силовых факторов (ВСФ): продольной силы, крутящего момента, а также поперечных сил и изгиба-ющих моментов в двух плоскостях. Каждый из этих ВСФ приводит к появлению соответствующих напряжений. Так как нормальные напряжения изгиба намного превышают нормальные напряжения растяжения (сжатия),
а касательные напряжения кручения намного больше касательных напряжений изгиба, то влиянием продольных и поперечных сил пренебрегают
и считают, что валы работают на совместное действие кручения и изгиба.

Расчет вала выполняют в следующем порядке:

1. Составляют расчетную схему. Валы рассматривают как балки на шарнирных опорах, размещаемых на средних линиях подшипников.

2. Указывают нагрузки, передаваемые от зубчатых колес на валы через поверхности контакта. Для упрощения расчетов валов эти нагрузки, распределенные по поверхности контакта, заменяют сосредоточенными силами, приложенными в середине ширины деталей. Полное давление
на зуб в зубчатых передачах раскладывают на составляющие.

Виды усилий и формулы, необходимые для расчета зубчатых передач, приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Усилия в зубчатых передачах

Вид передачи	Сила
окружная	радиальная	осевая
Цилиндрическая прямозубая		(7.2)	Отсутствует
Цилиндрическая косозубая	(7.1)	(7.3)	(7.5)
Коническая прямозубая		(7.4)	(7.6)

В соответствии с принципом независимости действия сил пространственную схему нагрузки заменяют двумя плоскими расчетными схемами –
в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

В каждом сечении круглого вала имеет место изгиб от действия результирующего изгибающего момента

,(7.7)

где М_Х и М_Y –изгибающие моменты в сечении вала соответственно в горизонтальной ивертикальной плоскости.

Опасным сечением вала будет такое сечение, в котором М _к и М _и до-стигают больших значений одновременно.

При изгибе с кручением опасные точки сечений вала находятся в условиях плоского напряженного состояния, поэтому условие прочности имеет вид

,

где – эквивалентное напряжение, определяемое по третьей или четвертой теории прочности;

[ ] – допускаемое напряжение для материала вала.

. (7.8)

Здесь – предел текучести материала вала;

п – коэффициент запаса прочности.

Диаметр вала определяется по формуле

, (7.9)

где М _экв – эквивалентный момент.

Полученное значение диаметра вала округляется до ближайшего стандартного значения. Если опасное сечение окажется на опоре вала (подшипник), то значение диаметра должно быть кратным пяти.

Задание 7.

Для вала, загруженного в соответствии с данными, приведенными
в табл. 7.2, необходимо определить диаметр в опасном сечении. При этом должны быть построены все необходимые эпюры внутренних силовых факторов.

В табл. 7.2 "звездочкой" (*) обозначено ведущее звено, Ц_п – цилиндрическое прямозубое колесо, Ц_к – цилиндрическое косозубое колесо,
К – коническое колесо.

Указания к составлению расчетной схемы
и выбору варианта задания 7

Порядок формирования схемы:

1. Начертить линию и обозначить характерные сечения точками А, В, С, Е, L (рис. 7.1).

Рис. 7.1

2. В соответствии с цифрой номера студенческого билета, соответствующей букве "г", по табл. 7.2 (столбец "Опоры") определить сечения,
в которых находятся опоры, и нарисовать их на схеме вала.

3. Выбрать тип зубчатых колес (аналогично п. 2) и поместить их схематическое изображение в оставшиеся свободными сечения вала, начиная с его левого конца. Порядок расположения зубчатых колес такой же, как
в табл. 7.2.

 

Таблица 7.2

Цифра	Опора	Окружное усилие, кН	Зубчатое колесо	Усилие на ведущем колесе	Диаметр зубчатого колеса, м	Длина участка вала, м	Материал вала	Коэффициент запаса прочности
Ft			D	D 1	D 2	L 1	L 2	L 3	L 4
	А	L	1,21	1,39	2,3	Цк		Цп		0,8	0,2	0,3	0,1	0,1	0,2	0,2	Сталь Ст.5	2,5
	А	E	1,32	2,29	1,67		Цк	К		0,9	0,3	0,3	0,2	0,1	0,3	0,2	Сталь Ст.6	2,5
	В	L	0,97	2,15	1,245	К		Цп		0,7	0,2	0,2	0,1	0,2	0,2	0,1	Сталь 40Х улучш.
	В	E	1,13	2,065	1,325		Цк			0,6	0,2	0,2	0,3	0,2	0,2	0,3	Сталь 40ХН	3,5
	А	L	1,29	1,8	1,64		Цк	Цк		0,8	0,3	0,3	0,2	0,1	0,1	0,2	Сталь 40ХН2МА	3,5

Окончание табл. 7.2

Цифра	Опора	Окружное усилие, кН	Зубчатое колесо	Усилие на ведущем колесе	Диаметр зубчатого колеса, м	Длина участка вала, м	Материал вала	Коэффициент запаса прочности
			D	D 1	D 2	L 1	L 2	L 3	L 4
	В	E	1,12	1,95	2,115	К		Цк		0,9	0,3	0,2	0,3	0,1	0,2	0,2	Сталь 35Т горячекатаная
	А	E	1,2	2,25	1,3		Цк	Цк		0,7	0,2	0,3	0,2	0,2	0,3	0,1	Сталь 30ХГСА
	В	L	1,25	1,91	1,472		Цк			0,6	0,2	0,25	0,3	0,2	0,2	0,2	Сталь 25ХГТ
	В	E	1,15	1,74	1,99	Цк	Цк			0,8	0,3	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	Сталь 20Х	3,5
	А	E	0,98	1,11	2,2	Цп		К		0,9	0,2	0,3	0,3	0,2	0,2	0,1	Сталь 35Т закалка, отпуск	3,5
Буква	г	д	г	в	д	в	д

Если коническое колесо расположено на левом конце вала, то на схеме его изображение будет следующим:, если на правом конце вала,
то.

4. На полученной схеме вала нарисовать усилия на зубчатых колесах. Для ведущего звена направление усилий выбрать из соответствующего столбца табл. 7.2; при указании направлений усилий ведомых звеньев необходимо учесть, что:

а) точка приложения сил для ведомых звеньев располагается на схеме колеса противоположно точке приложения усилий для ведущего звена
(рис. 7.2);

б) окружные силы всех звеньев проецируются на выбранную ось
с одинаковыми знаками. Силы F_t и на рис. 7.2 проецируются на ось X
со знаком "+";

в) осевые силы на схеме вала необходимо направлять в сторону ближайшей опоры. Для прямозубых конических колес направление осевых усилий не зависит от направления вращения колес; осевые усилия действуют параллельно оси зубчатого колеса и всегда направлены от вершины начального конуса, например, на рис. 7.2;

г) радиальные силы всегда направлены к центру вала.

Рис. 7.2

Для ведущих звеньев усилия будем обозначать без цифровых индексов: F_t, F_r.

 

 

Пример расчета

Расчет выполнен для вала, показанного на рис. 7.3.

Исходные данные для расчета:

= 2,93 кН; D ₁ =0,3 м;

= 1,82 кН; D ₂ = 0,3 m;

= 1,9 кН; D = 0,75 м;

l ₁ = 0,3 м; l ₂ = 0,3 м; l ₃ = 0,3 м; l ₄= 0,3 м.

Рис. 7.3

Кроме окружных усилий на зубчатые колеса будут действовать радиальные усилия, определяемые по формулам (7.2) – (7.4), и осевые усилия (на коническом и цилиндрическом косозубом колесах), определяемые
по формулам (7.5), (7.6):

F_r = F_t× tg 20° = 0,36 × 1 900 = 684 Н;

= ×t g 20° × cos 45° = 2 930 × 0,36 × 0,7 = 738,36 H;

Н;

Н;

= 1 820 × 0,21 = 382,2H.

Расчетную схему вала с пространственным расположением сил заменим отдельными схемами, в которых силы располагаются в одной плоскости. На рис. 7.4 представлена схема вала с усилиями, действующими в вертикальной плоскости.

М ₁ и М ₂ – моменты от осевых усилий и :

Н×м;

Н×м.

Рис. 7.4

Для построения эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости необходимо предварительно определить реакции опор:

;

;

Уравнения проверки:

;

–738,36 + 1 143,75 – 669,94 + 684 + (–419,45) = 0.

0 º 0, следовательно, реакции опор определены верно. Направление реакции R_L показано на рис. 7.4 с учетом полученного знака.

Составляем уравнения изгибающих моментов для каждого из четырех участков балки:

0 £ z ₁ £ 0,3;

M _I = M ₁– ;

при z ₁ = 0 М _I = 110,754 H×м;

при z ₁ = 0,3 М _I = M ₁ – 0,3 = 110,754 – 38,36 × 0,3 = –110,754 Н×м;

0,3 £ z ₂ £ 0,6;

М _II = М ₁ – ;

при z ₂ = 0,3 M _II = M ₁ – 0,3 = 110,754 – 738,36 × 0,3 = –110,754 Н×м;

при z ₂ = 0,6 M _II = M ₁ – 0,6 + R_B × 0,3 = 110,754 – 738,36 × 0.6 +
+ 1143,75×0,3 = = –10,86 Н×м;

0 £ z ₃ £ 0,3;

М _Ш = – R_L × z ₃;

при z ₃ = 0 M _Ш = 0;

при z ₃ = 0,3 М _Ш= – R_L × 0,3 = –419,45 × 0,3 = –125,835 H×м;

0,3 £ z ₄ £ 0,6;

M _IV = – R_L × z ₄ + F_r (z ₄ – 0,3);

при z ₄ = 0,3 M _1V = – R_L × 0,3 = –125,835 Н×м;

при z ₄ = 0,6 M _IV = – R_L × 0,6 + F_r × 0,3 = –419,45 × 0,6+ 684 × 0,3 = –46,47 Н×м.

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рис. 7.4).

Окружные усилия зубчатых колес вызывают изгиб вала в горизонтальной плоскости. Схема расчета представлена на рис. 7.5.

 

 

Определяем реакции опор:

;

Н;

;

Н.

Рис. 7.5

Проверка: ;

2 930 – 5 753,33 + 1 820 + 1 900 – 896,67 = 0.

Реакции опор найдены верно.

Уравнения изгибающих моментов в горизонтальной плоскости:

0 0,3;

;

при z ₁ = 0 М _I = 0;

при z ₁ = 0,3 М _I = = 2 930 × 0,3 = 879 Н×м;

0,3 0,6;

;

при z ₂ = 0,3 = 879 Н×м;

при z ₂ = 0,6 = 2 930 × 0,6 – 5 753,33 × 0,3 =
= 32 Н×м;

0 0,3;

;

при z ₃ = 0 М _III= 0;

при z ₃ = 0 М _III = – R_L× 0,3 = –896,67 × 0,3 = –269 Н×м;

0,3 0,6;

М _IV = – R_L × z ₄ + F_t (z ₄ – 0,3);

при z ₄ = 0,3 M _IV = – R_L × 0,3 = –269 H×м;

при z ₄ = 0,6 M _IV = – R_L × 0,6 + F_t × 0,3 = –896,67 × 0,6 + 1 900 × 0,3 = 32 Н×м.

Эпюра изгибающих моментов, построенная по полученным значениям, показана на рис. 7.5.

Расчетная схема кручения вала представлена на рис. 7.6.

Рис. 7.6

Внешние крутящие моменты:

Н×м;

Н×м;

Н×м.

Уравнения крутящих моментов для трех участков вала:

= Т ₁ = 439,5 Н×м;

= Т ₁ + Т ₂ = 439,5 + 273 = 712,5 Н×м;

= Т ₁ + Т ₂ – Т = 439,5 + 273 – 712,5 = 0.

Эпюра М _кприведена на рис. 7.6.

Суммарный изгибающий момент М _идля каждого сечения вала определяется по формуле (7.7):

Н×м;

= 885,95 Н×м;

= 32,18 Н×м;

= 56,42 Н×м;

= 296,98 Н×м.

Построенная по полученным значениям эпюра суммарных изгибающих моментов приведена на сводном рис. 7.7. По эпюрам М _ки М _и устанавливаем положение опасного сечения вала. Это сечение В, находящееся на левой опоре вала. Пусть вал изготовлен из стали 45, для которой s_т = 580 МПа. Примем п = 3. Тогда допускаемое напряжение, определенное по форму-
ле (7.8), будет равно:

193,3 МПа.

Диаметр вала по IV теории прочности

;

Н×м;

, м.

Полученное значение d округляем до ближайшего стандартного значения по ГОСТ 6636–69 (см. приложение 10).

Так как опасное сечение находится под подшипником, принимаем
d = 40 мм.

Рис. 7.7

 

ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ
К ОФОРМЛЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Курсовая работа выполняется на одной стороне листов писчей бумаги формата А4 (210 ´ 297 мм), пронумерованных и сшитых в тетрадь.

Первый лист – титульный – выполняется стандартным шрифтом (цвет – черный, можно выполнять на компьютере). Образец оформления титульного листа приведен в приложении 11.

На втором листе курсовой работы вычерчивается основная надпись (см. приложение 12) и помещается оглавление, которое содержит названия всех разделов курсовой работы с указанием страниц. Разделы (подразделы) должны быть пронумерованы арабскими цифрами.

Например:

5. Напряжения при изгибе……………………………………12

5.1. Определение реакций опор балки……………………….13

5.2. Построение эпюр M и Q ………………………………….15

Начиная с третьего листа приводится решение первой из задач, входящих в курсовую работу. Начальный лист каждой задачи оформляется
в соответствии с приложением 13. На последующих листах основная надпись выполняется в соответствии с приложением 14.

Текст курсовой работы рекомендуется излагать в безличной форме.

Формулы и расчеты записывают в отдельные строки. При этом формула сначала записывается в буквенном виде, справа от нее на расстоянии не менее 30 мм в скобках помещается номер формулы. Первая цифра номера соответствует номеру раздела курсовой работы, последующие означают очередность формулы в разделе. Например:

. (1.1)

Каждая формула должна сопровождаться расшифровкой входящих в нее буквенных (цифровых) обозначений в той последовательности, в которой они приведены в формуле. Затем в формулу подставляют вместо букв их численные значения и записывают окончательный результат (без каких-либо алгебраических преобразований!) с указанием размерности полученной величины.

При использовании в расчетах справочных данных необходимо сделать ссылку на источник информации, из которого они были взяты, с указанием номеров страниц, таблиц и т. д. Например: s_т = 200 МПа (табл. 4,
с. 89 [3]). Цифры в квадратных скобках указывают номер источника в списке использованной литературы.

На последнем листе курсовой работы помещается список использованной литературы, составленный в алфавитном порядке в соответствии
с правилами библиографического описания.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА*

Основная

1. Иосилевич, Г. Б. Прикладная механика / Г. Б. Иосилевич. – М.: Машиностроение, 1989. – 352 с.: ил.

2. Степин, П. А. Сопротивление материалов: учебник для немашиностроит. специальностей вузов / П. А. Степин. – 8-е изд. – Подольск: Интеграл, 2006. – 367 с.: ил.

Дополнительная

1. Буланов, Э. А. Решение задач по сопротивлению материалов / Э. А. Буланов. – 2-е изд., испр. – М.: БИНОМ: Лаборатория знаний, 2005. – 207 с.: ил.

2. Ицкович, Г. М. Сопротивление материалов: учебник для сред. спец. учеб. заведений. – Изд. 9-е, стер. / Г. М. Ицкович. – М.: Высш. шк., 2001. – 368 с.: ил.

3. Окопный, Ю. А. Механика материалов и конструкций / Ю. А. Окопный, В. П. Радин, В. П. Чирков. – М.: Машиностроение, 2001. – 408 с.: ил.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Ориентировочные величины
основных допускаемых напряжений

Материал	[s], МПа
сталь Ст.2	140¸160
сталь Ст.3
сталь Ст.5
Медь	30¸120
Сосна вдоль волокон (сжатие)	10¸12
Дуб вдоль волокон (сжатие)	13¸15
Дуралюмин	80¸150
Чугун (растяжение)	80¸100
Чугун (сжатие)	120¸190

Приложение 2

Модули упругости

Материал	Е, МПа	G, МПа
Сталь	2×10^5	8×10^4
Медь	1×10^5	4×10^4
Дерево	(0,09¸0,12)10^5	(0,045¸0,065)10^4
Дуралюмин	0,71×10^5	2,7×10^4
Чугун	(0,8¸1,6)10^5	4,5×10^4

Приложение 3