Теоретические основы испытания материалов на изгиб

 

Рассмотрим общий метод определения перемещения, пригодный для любой линейно-деформируемой системы, при любой нагрузке. Этот метод предложен выдающимся немецким ученым О. Мором.

Согласно методу Мора для определения линейного или углового перемещения сечения, используется интеграл Мора (1) в виде:

(1)

где EJ – жесткость участка балки;М₁ – выражение для изгибающего момента для произвольного участка, от единичной нагрузки, приложенной к сечению, где определятся перемещение; М_F – выражение для изгибающего момента от заданной внешней нагрузки для того же произвольного участка;

Интеграл записывается для каждого участка балки (Н*м).

Прямой изгиб подразделяют на чистый и поперечный. При чистом прямом изгибе в поперечных сечениях балки возникает лишь один внутренний силовой фактор - изгибающий момент. При поперечном прямом изгибе в поперечных сечениях балки наряду с изгибающим моментом возникает и другой внутренний силовой фактор - поперечная сила.

В качестве примера рассмотрим балку с консолями постоянной жесткости EJи лежащую на двух опорах (рис. 7.2)

Загружается балка на консоли в точке 4 силой F и поставим перед собой задачу методом Мора определить перемещение сечений в точках 2, 4 (рис. 7.3) и угол поворота сечения на левой опоре в точке 1.

Определяется из уравнений равновесия балки реакции в опорах 1, 3

 

, (2)

,

 

Согласно предложенному методу, записывается уравнения моментов для каждого участка балки (4).

(3)

(4)

Для определения перемещения сечения в точке 4 прикладывается единичная сила по направлению этого перемещения (рис. 7.2, а) и определяется от неё реакции на опорах.

, (5)

, (6)

 

Рис. 7.2. Расчетная схема балки.

 

И для тех же участков записывается уравнение моментов, иполученные выражения подставляются в интеграл Мора (1)

 

, (7)

 

^, (8)

 

(9)

 

Для определения перемещения в сечении (2) прикладывается единичная сила в этом сечении (рис. 7.2, б) и от неё определяется реакция в опорах:

Записывается уравнение моментов от этой единичной силы,затем полученные выражения подставляются в формулу (10)

(10)

Для определения угла поворота сечения на левой опоре приложим к ней единичный момент (рис. 7.2, в) и определим от него реакции в опорах

Далее записывается уравнения моментов для каждого участка для балки (рис. 7.2, в) и определяется угол поворота сечения на левой опоре по формуле (11)

 

(11)

 

Инструменты для испытаний

 

Рис. 7.5. Общий вид установки СМ-4А

Для измерения перемещений (прогибы) используется стрелочный индикатор,схема его показана на рис. 7.7.

Рис. 7.6. Стрелочный индикатор

 

Для измерения перемещений он устанавливается неподвижно и штифтом (1) опирается в точке А, перемещение которой определяется по направлению штифта (1). При перемещении точки А конец штифта следует за ней, так как штифт при помощи пружинки (2) все время прижат к этой точке.

Перемещение штифта отмечается движением указателя (3), прикрепленного к штифту, по шкале с миллиметровыми делениями, нанесенными по краю прорези.

Штифт в средней части имеет винтовую нарезку и соединен с червячным колесом (4), на одной оси с которым помещается шестеренка (5). Шестеренка (5) находится в соединении с шестеренкой (6), к оси которой прикреплена стрелка (7). При перемещении штифта на 1 мм стрелка, благодаря принятым соотношениям размеров червячной и шестереночной передач делает полный оборот. По окружности, описываемой стрелкой, нанесена шкала со 100 делениями. Следовательно, одно деление циферблата соответствует перемещению штифта на 0,01 мм.

Таким образом, по вертикальной шкале отсчитываются целые миллиметры, а по циферблату – доли миллиметра. Если отсчеты по циферблату оценивать на глаз, до одной десятой деления, то измерение перемещений может быть произведено с точностью до 0,001 мм.

В некоторых моделях индикаторов вместо прорези со шкалой для отсчета целых миллиметров перемещения штифта устроен второй циферблат с маленькой стрелкой и отсчитываются целые миллиметры (рис. 7.6). Величина поступательного перемещения штифта, а, следовательно, и предельное перемещение, которое можно замерить без перестановки индикатора, обычно равняется 10 мм.

Стрелочным индикатором можно определять и линейные деформации. При измерении деформаций индикатор закрепляется между двумя точками (сечениями) таким образом, чтобы корпус его был неподвижно скреплен с одной точкой (сечением), а штифт опирался в другой точке. Изменение отсчетов по циферблату и даст величину изменения длины между фиксированными точками (сечениями).

На большой шкале (2) расположено 100 делений. Полный круг стрелки (1) будет соответствовать 1 мм, соответственно одно деление – 0,01 мм. Черная разметка – движение измерительной иглы снизу вверх (вдавливание иглы внутрь прибора). Красная шкала – движение стрелки из прибора (сверху вниз). Маленькая круглая шкала (3) считает целые миллиметры (всего 10 мм).

Рис. 7.7. Комплект грузов

Рис. 7.8. Линейка, установленная на балке

 

Рис. 7.9. Установка СМ-4А для определения перемещений при изгибе

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие методы определения деформаций при изгибе вы знаете?

2. Что является деформацией при изгибе?

3. Что такое линейная деформация при изгибе?

4. Что такое угловая деформация при изгибе?

5. Как влияют упругие свойства материала на деформацию?

6. Как влияют размеры и форма сечения балки на деформацию?

7. Что такое поперечная сила и как она определяется в произвольном сечении балки (правило знаков)?

8.Что такое изгибающий момент и как он определяется в произвольном сечении балки 9. (правило знаков)?

9. Что такое грузовой момент?

10.Что такое единичный момент?

11.Напишите формулу интеграла Мора.

12. В каком случае нужно прикладывать единичную силу, а в каком – единичный момент?

13.В каких пределах ведется интегрирование при определении деформаций по интегралу Мора?

14. Напишите условие жесткости.

Литература

1. Геллер Ю.А., Рахштадт А.Г. Материаловедение. Методы анализа, лабораторные работы, задачи. М.: Металлургия, 1984.

2. Металловедение / Под ред. М.С. Ароновича. М.: МЭИ, 1970.

3. Материаловедение: Учебник для ВУЗов / Под ред. Б.Н. Арзамасова: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

4. Лабораторный практикум по материаловедению. М.: Изд-во МЭИ, 1998.

Лабораторная работа № 8