Расчеты на прочность и жесткость при кручении круглого бруса

Цель работы: усвоение методики расчета на прочность и жесткость прямых стержней

(валов) при кручении.

 

Задание: Для одной из схем построить эпюру крутящих моментов;

определить диаметр вала на каждом участке и полный угол закручивания.

Полученное рас­четное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего

большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8 или по СТ СЭВ 208—75. Угловую скорость вала принять ω = 100 рад/с,

допус­каемое напряжение [τ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига

G = 0, 8·10⁵ Н/мм², допускаемый угол закручивания [ φ_о ] = 1,0 град/м.

 

Дано:

 

Р₁ = 3,1 кВт,

Р₂ = 3,4 кВт,

Р₃ = 4,1 кВт,

[τ] = 30 МПа,

G = 0,8·10⁵ Н/мм²,

[ φ_о ] = 1,0 град/м,

ω = 100 рад/с.

a = b = с = 1,3 м

 

Решение.

1. Вал вращается с постоянной угловой скоростью, сле­довательно, система вращающих моментов уравновешена. Мощность, подводимая к валу без учета потерь на трение, равна сумме мощ­ностей, снимаемых с вала:

Р₀ = Р₁ +Р₂ + Р₃ = 3,1+3,4+4,1 = 10,6 кВт.

 

2. Определяем вращающие моменты на шкивах:

М₁ = Р₁/ω = 3,1·10³/100 = 31 Н·м;

М₂ = Р₂/ω = 3,4·10³/100 = 34 Н·м;

М₃ = Р₃/ω = 4,1·10³/100 = 41 Н·м;

М₀ = М₁ + М₂ + М₃ = 106 Н·м

3. Для построения эпюр крутящих моментов проведем базовую (нуле­вую) линию параллельно оси вала и, используя метод сечений, най­дем значения крутящего момента на каждом участке, отложим най­денные значения перпендикулярно базовой линии.

4. Вал имеет три участка, гра­ницами которых являются сечения, в которых приложены внешние моменты. В пределах каждого участка значение крутящего момента сохраняется постоянным:

 

Сечение 1: М₃ = 41 Н·м;

Сечение 2: M₃ - M₀ = 41 – 106 = -65Н·м;

Сечение 3: M₃ - M₀ + М₂ = 41 – 106 + 34 = -31 Н·м.

 

5. Из условия прочности диаметр вала на первом участке опреде­ляем по формуле

откуда

 

 

На втором участке

 

 

На третьем участке

По условию прочности принимаем диаметр вала равным 1,9 мм на всех участках.

 

6. Полярный момент инерции сечения вычисляется по формуле:

J_P = π d ⁴/32

Вычисляем полярные моменты инерций сечений вала:

J_P = мм⁴

7. Угол закручивания вала:

По условию жесткости угол закручивания

Условие прочности выполняется

 

Контрольные вопросы

При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?

 

Когда в его поперечных сечениях возникает только одни внутренним силовой фактор — крутящий момент М_К

Как вычисляется скручивающий момент, передаваемый шкивом по заданной мощности и числу оборотов в минуту?

 

Крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на остав­ленную часть вала в плоскостях перпендикулярно оси вала и приложен­ных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Что представляют собой эпюры крутящих моментов и как они строятся?

 

На вал не действует распределенная нагрузка (m = 0), поэтому эпюра МК состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс. В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие пары, на эпюре МК наблюдаются скачки, равные приложенным моментам. Вычисляем моменты по участкам, и строим эпюру.

Что называется полным и относительным углом закручивания бруса?

 

Отношение угла закручивания к длине l называют относительным углом закручивания

Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении и как они направлены?

Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии, то после деформации кручение окажется что:

- все образующие поворачиваются на один и тот же угол y, а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

- торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

- каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторый угол , называемый углом закручивания;

- радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.

На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю

Что называется жесткостью сечения при кручении?

 

– отношения полярного момента и — модуль упругости при сдвиге