Расчет бесшарнирной арки на неподвижную нагрузку (общий ход расчета, особенности расчета с ос, полученной разрезанием арки по оси симметрии).

Бесшарнирная арка (рис, а) три раза статически неоп­ределима (n_c = 3). ОС метода сил получается уда­лением трех избыточных связей, например, введением трех шар­ниров (рис, б), отбрасыванием жесткой опоры (рис, б); разрезанием арки по оси симметрии (рис, г) и добавлением неизвестных реакций этих связей X₁, X₂, X₃.

Для симметричной арки желательно выбирать и симметрич­ную ОС. В этом случае многие расчеты можно бу­дет производить только для половины арки.

КУ выражают условия отсутствия пере­мещений по направлениям неизвестных усилий X₁, X₂, X₃. В пер­вом случае это углы поворота опорных сечений и взаимный угол поворота сечений в замке; во втором - линейные и угловое перемещения конца консоли. Для ОС на рис, г КУ (1) выражают условие полной взаим­ной неподвижности левого и правого сечений в месте разреза.

В общем случае КУ: δ₁₁X₁+δ₁₂Х₂+δ₁₃Х₃+∆_1p=0;

δ₂₁X₁+δ₂₂X₂+δ₂₃Х₃+∆_2Р=0; (1)

δ₃₁X₁+δ₃₂Х₂+δ₃₃Х₃+∆_3р=0.

Входящие в них перемещения определяются по методу Мора:

где _i , _i , _i и M_p, Q_p, N_p - внутренние усилия в ОС от X_i = 1 и внешней нагрузки соответственно; S - длина оси арки; ds - бесконечно малый элемент оси; EJ, GA, EA - жестко­сти сечения соответственно при изгибе, сдвиге и растяжении- сжатии; η- коэф, учитывающий неравномерность рас­пределения кас. напряжений по поперечному сечению при изгибе и зависящий от формы сечения.

Наиболее простой расчет получится с использованием основ­ной системы, показанной на рис, г, так как четыре из побочных коэффициентов будут нулевыми:

δ₁₂=δ₂₁=δ₂₃=δ₃₂=0.

После решения КУ вычисляются значе­ния внутр. усилий M, N, Q по ф-лам:

M = ₁ X₁+ ₂ X₂+ ₃ X₃+ M_p;

N = ₁ X₁+ ₂ X₂+ ₃ X₃+N_p;

Q = ₁ X₁+ ₂ X₂+ ₃ X₃+ Q_p.

Далее необходимо выполнить кин. (деф.) проверку правильности вычисления внутр. усилий. Для этого можно использовать усилия одного из ед. со­стояний _i , _i , _i (i = 1, 2, 3)

Здесь ∆_i - перемещение по направлению X_i. Выполнение усло­вий (8.13) и (8.14) говорит о том, что перемещения по направле­ниям реакций отброшенных связей отсутствуют, что соответству­ет расчетной схеме заданной бесшарнирной арки.

5. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ (СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ ПЛОСКИХ ФЕРМ, ОБЩИЙ ХОД РАСЧЕТА, ОСОБЕННОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ).

Степень статической неопределимости (кол-во лишних стержней): n_c = С₀ - 2У, где У - количество узлов фермы (шарниров), непосредственно не связанных с землей; С₀ - количество одиночных связей (стерж­ней фермы и опорных стержней).

Избыточными (лишними) могут быть как связи опор, так и элементы самой фермы. Внешне статически неопределимая ферма содержит лишние опорные стержни, но сама она, отделен­ная от опор, статически определима. Внутренне статически не­определимая ферма имеет минимально необходимое количество опорных связей, однако в ее структуре присутствуют больше стержней, чем нужно для неизменяемости

Общий ход расчета. ОC метода сил образуется разрезанием стержней фермы либо устранением избыточных опорных связей. ОС, получаемая разрезанием стержней фермы, во многих случаях оказывается удобнее ОС, в которой устраняются опорные связи.

В общем случае КУ имеют стандартный вид. Для n раз статически неопределимой фермы:

единичные и грузовые перемещения, входящие в КУ, определяются соотношениями:

δ _ki = ;∆_kp= где , -продольная сила в j-ом стержне ОС от ед. силы, приложенной по направлению X_k и внешней нагрузки соответственно; lj, EAj - длина и жесткость j-го стерж­ня. Знак суммы распространяется на все стержни системы.

После решения КУ вычисляются значе­ния продольных сил в ферме по формуле:

N ^(j) = , где N ^(j) - продольная сила в j-ом стержне заданной фермы.

Далее следует выполнить статическую проверку правильно­сти вычисления внутренних усилий, вырезав несколько узлов и проверив их равновесие.

Для кинематической (деформационной) проверки необходимо взять усилия одного из единичных состояний (k = 1, 2,..., n) ∆ _k = =0; ∆_k - перемещение по направлению X_k. Выполнение усло­вия говорит о том, что перемещения по направле­ниям усилий в разрезанных стержнях равны удлинениям этих стержней, что соответствует расчетной схеме заданной фермы.

 

6.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛКАХ. СТЕПЕНЬ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ. ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДА СИЛ.

Неразрезной на­з. статически неопределимая сплошная балка, имеющая более двух опор и, следовательно, перекрывающая более одного пролета(рис, а). Характерным ее отличаем от многопролетной балки (рис, б) явл. то, что нагрузка, приложенная в любом пролете, изгибает неразрезную балку на протяжении всех ее пролетов, создавая плавную упругую линию. Типы неразрезных балок: про­стая неразрезная - если балка своими концами опирается на шарнирные опоры; консолъно-неразрезная - если имеет консоли; неразрезная балка с защемлениями - если ее концы закреплены жесткой и скользящей заделками

Характерным ее отличием от многопролетной шарнирной бал­ки (рис, б) является то, что нагрузка, приложенная в любом пролете, изгибает неразрезную балку на протяжении всех ее пролетов, создавая плавную упругую линию. Типы неразрезных балок: про­стая неразрезная - если балка своими концами опирается на шарнирные опоры; консолъно-неразрезная - если имеет консоли; неразрезная балка с защемлениями - если ее концы закреплены жесткой и скользящей заделками

ОС метода сил. ОС можно получить: 1) устраняя все промежуточные опоры и принимая в качестве неизвестных вертикальные опорные реакции (рис, б); 2) вводя шарниры, чаще всего в сечения над промежуточными опорами, и принимая за неизвестные опорные изгибающие мо­менты (рис, в).

Нетрудно убедиться, что для первого варианта ОС любая сила X_i = 1 вызывает перемещения по направлениям всех неизвестных сил (рис, а). Для второго варианта ОС любой момент X_i = 1 деформирует только два смежных пролета по обе стороны от опоры, где он приложен, и вызывает перемещения только по направлениям трех неизвест­ных: X_i-1, X_i и X_i+1 (рис, б). Следовательно, в первой ОС каждое побоч­ное перемещение δ _ij (i≠j) не равно нулю, и КУ будут полными. Во второй ОС большое число побочных коэффициентов будет =0, КУ упростятся. Следовательно, вторая ОС ра­циональнее первой, она и будет рассматриваться далее.

Заметим, что при малом числе промежуточных опор (1-2) может применяться и первый вариант ОС.

Уравнение трех моментов

Вывод уравнения трех моментов. Положим, что балка имеет ступенчато переменное сечение с постоянным моментом инерции J_i в каждом i-м пролете.

Рассмотрим два смежных пролета выбранного варианта ос­новной системы, i-й и (i + 1)-й (рисунок 8.15, а). Запишем i-ое каноническое уравнение метода сил:

 

Очевидно, что моменты X1, X2, Xi _-2 и Xi+ 2,..., X_n не де­формируют рассматриваемые пролеты балки и, следовательно, не вызывают перемещений по направлению момента X_i. Поэтому коэффициенты . Уравнение принимает вид: (8.21)

При определении перемещений по методу Мора будем учиты­вать только изгибающие моменты, пренебрегая поперечными си­лами.

Перемножая эпюры по правилу для прямоли­нейных эпюр на участке постоянной жесткости, получаем:

 

Подставим в уравнение (8.21):

Умножая его на произвольное значение 6EJ₀, получим:

(8.23)

где - приведенная длина i-го пролета.

Каноническое уравнение метода сил, записанное в форме (8.23), называется уравнением трех моментов. Оно связывает три последовательных неизвестных опорных момента для двух смеж­ных пролетов с длинами l_i и l_i + ₁. Смысл i-го уравнения: отсутст­вие взаимного угла поворота сечений балки на i-ой опоре.

Подчеркнем, что 6EJ₀ - произвольная величина. Однако для удобства в качестве J₀ принимают момент инерции одного из пролетов балки. Тогда приведенные и реальные длины пролетов имеют одинаковую размерность.

 

8. Формула для грузового перемещения.

Построим грузо­вую эпюру M_p (рисунок 8.15, д) и перемножим ее с эпюрой M_i (см. рисунок 8.15, в) по правилу Верещагина:

 

где - площадь эпюры M_p в i-м и (i + 1)-м пролетах; y_Ci - ордината эпюры M_i под центром тяжести С_i эпюры M_p в i-м пролете; y_Ci+₁ - то же, в (i + 1)-м пролете; EJ_i, EJ_i + ₁ - жесткости балки в i-м и (i + 1)-м пролетах.

Рассматривая подобные треугольники эпюры M_i, получаем:

С учетом этого формула для грузового перемещения принима­ет вид:

где a, b - расстояния от центра тяжести эпюры M_p до левой и правой опор.