Типы статически неопределимых арок. Особенности расчета статически неопределимых арок. Законы изменения сечений арок.

Типы статически неопределимых арок. Особенности расчета статически неопределимых арок. Законы изменения сечений арок.

Типы статически неопределимых арок: двухшарнирная и бесшарнирная. Первая из них один раз статически неопределима, так как содержит одну лишнюю связь (nc = 1), вторая – три раза (nc = 3). Если опорные устройства или нижележащие элементы неспособны воспринимать распор, в арках устраиваются затяжки. Затяжка-это стержень, который соединяет элементы конструкции между собой.

Если опоры не могут воспринимать распор Н,то устанавливается затяжка, работающая на растяжение. Продольная сила в ней N=H.

Особенности расчета статически неопределимых арок. 1)В арках внутренние усилия (M, Q, N) и перемещения зависит не только от внешней нагрузки, но и от формы оси, а в статически неопределимых арках – еще и от геометрических характеристик поперечных сечений (площадей A и моментов инерции J.(так как для определения внутренних усилий в статически неопределимых арках методом сил необходимо определять перемещения Δ и δ, содержащие жесткости EI,EA,GA). 2) При расчете перемещений по методу Мора необходимо учитывать для плоской задачи все 3 слагаемых, содержащих М,Q,N. Однако в учебных и предварительных расчетах допускается пренебрегать влиянием на перемещения поперечных, а в некоторых случаях и продольных сил. Интегралы Мора вычисляют приближенно, используя численные методы. Способы «перемножения эпюр» неприменимы, так как все эпюры внутренних усилий в арках криволинейны. В виде исключения можно разбить ось арки на малые участки, в пределах которых и ось, и эпюры считать прямолинейными; «перемножить» эпюры для каждого участка, а результаты просуммировать.

Законы изменения сечений арок:Закон изменения площади сечения , Законы изменения момента инерции в произвольных сечениях: 1)2ш:

2) бесш. , n-число равное 0,1,2…, - момент инерции сечения в замке.

Расчет двухшарнирной арки на неподвижную нагрузку (общий ход расчета, особенности расчета арки с балочной основной системой).

Заданная двухшарнирная арка (рис. а) содержит одну лишнюю связь, поэтому для получения статически определимой основной системы метода сил необходимо эту связь отбросить и заменить действием реакции X1.

1) Основная система метода сил может быть образована двумя способами (б): в виде трехшарнирной арки (арочная основная система) или криволинейной балки (балочная основная система). В первом случае X1 представляет собой изгибающий момент в замковом сечении, во втором – горизонтальную опорную реакцию (распор).

2) Приравняв это выражение к нулю, получим каноническое уравнение: δ11X1 +Δ1p=0,где δ11 – перемещение по направлению X1, вызванное единичным силовым фактором, приложенным в направлении X1; Δ1p – перемещение по направлению X1 от внешней нагрузки.

3)Затем, воспользовавшись методом Мора, необходимо найти перемещения δ11 и Δ1p:

где S – длина оси арки; ds – бесконечно малый элемент оси; EJ, GA, EA – жесткости сечения соответственно при изгибе, сдвиге и растяжении-сжатии; η – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по поперечному сечению при изгибе и зависящий от формы сечения.

4) Из уравнения следует, что X =(−Δ p) /δ.

5) Определяем изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в за-

данной арке: Q = Q1X1 + Qp; N = N1X1 + Np, M=M1X1+Мр

6) Проверка Равенство Δ 1 нулю говорит о правильности расчетов.

Особенности расчета арки с балочной основной системой

, , . Подставим полученные значения в формулу δ11 иΔ1р. При этом перейдем от интегрирования по длине оси s к интегрированию по длине пролета l. ƞdz

ƞdz.При приближенном расчете двухшарнирных арок со стрелой подъема f< l/3 и с высотой поперечного сечения h< l/10

допускается не учитывать поперечные силы при определении δ11, продольные и поперечные силы – при определении Δ1р.

 

Уравнение трех моментов

Вывод уравнения трех моментов. Положим, что балка имеет ступенчато переменное сечение с постоянным моментом инерции J_i в каждом i-м пролете.

Рассмотрим два смежных пролета выбранного варианта ос­новной системы, i-й и (i + 1)-й (рисунок 8.15, а). Запишем i-ое каноническое уравнение метода сил:

 

Очевидно, что моменты X1, X2, Xi _-2 и Xi+ 2,..., X_n не де­формируют рассматриваемые пролеты балки и, следовательно, не вызывают перемещений по направлению момента X_i. Поэтому коэффициенты . Уравнение принимает вид: (8.21)

При определении перемещений по методу Мора будем учиты­вать только изгибающие моменты, пренебрегая поперечными си­лами.

Перемножая эпюры по правилу для прямоли­нейных эпюр на участке постоянной жесткости, получаем:

 

Подставим в уравнение (8.21):

Умножая его на произвольное значение 6EJ₀, получим:

(8.23)

где - приведенная длина i-го пролета.

Каноническое уравнение метода сил, записанное в форме (8.23), называется уравнением трех моментов. Оно связывает три последовательных неизвестных опорных момента для двух смеж­ных пролетов с длинами l_i и l_i + ₁. Смысл i-го уравнения: отсутст­вие взаимного угла поворота сечений балки на i-ой опоре.

Подчеркнем, что 6EJ₀ - произвольная величина. Однако для удобства в качестве J₀ принимают момент инерции одного из пролетов балки. Тогда приведенные и реальные длины пролетов имеют одинаковую размерность.

 

8. Формула для грузового перемещения.

Построим грузо­вую эпюру M_p (рисунок 8.15, д) и перемножим ее с эпюрой M_i (см. рисунок 8.15, в) по правилу Верещагина:

 

где - площадь эпюры M_p в i-м и (i + 1)-м пролетах; y_Ci - ордината эпюры M_i под центром тяжести С_i эпюры M_p в i-м пролете; y_Ci+₁ - то же, в (i + 1)-м пролете; EJ_i, EJ_i + ₁ - жесткости балки в i-м и (i + 1)-м пролетах.

Рассматривая подобные треугольники эпюры M_i, получаем:

С учетом этого формула для грузового перемещения принима­ет вид:

где a, b - расстояния от центра тяжести эпюры M_p до левой и правой опор.

Рис. 20.12

 

Для расчета статически неопределимых систем по теории пре­дельного равновесия можно воспользоваться одним из двух спосо­бов - кинематическим или статическим.

При применении кинематического способа, в предельном сос­тоянии составляется уравнение работы всех внешних и внутренних усилий на основе принципа возможных перемещений. Этот принцип формулируется так: если система твердых тел находится в равновесии под действием системы сил, то работа, совершаемая этими силами на любом малом возможном перемещении системы, должна быть равна нулю.

При применении статического способа при отсутствии упругого расчета, на основе которого, предварительно можно опре­делить наиболее вероятную схему разрушения конструкции, зада­ются различные схемы разрушения предельной стадии работы рас­сматриваемой системы, и для каждой из них составляются уравне­ния равновесия и определяют­ся предельные значения внеш­них сил. Из их числа, наи­меньшая является расчетной величиной предельной силы.

Из числа рассмотренных схем разрушения, на основа­нии которых определяется пре­дельная сила, является наибо­лее вероятной схемой, разру­шения конструкции.

 

 

Типы статически неопределимых арок. Особенности расчета статически неопределимых арок. Законы изменения сечений арок.

Типы статически неопределимых арок: двухшарнирная и бесшарнирная. Первая из них один раз статически неопределима, так как содержит одну лишнюю связь (nc = 1), вторая – три раза (nc = 3). Если опорные устройства или нижележащие элементы неспособны воспринимать распор, в арках устраиваются затяжки. Затяжка-это стержень, который соединяет элементы конструкции между собой.

Если опоры не могут воспринимать распор Н,то устанавливается затяжка, работающая на растяжение. Продольная сила в ней N=H.

Особенности расчета статически неопределимых арок. 1)В арках внутренние усилия (M, Q, N) и перемещения зависит не только от внешней нагрузки, но и от формы оси, а в статически неопределимых арках – еще и от геометрических характеристик поперечных сечений (площадей A и моментов инерции J.(так как для определения внутренних усилий в статически неопределимых арках методом сил необходимо определять перемещения Δ и δ, содержащие жесткости EI,EA,GA). 2) При расчете перемещений по методу Мора необходимо учитывать для плоской задачи все 3 слагаемых, содержащих М,Q,N. Однако в учебных и предварительных расчетах допускается пренебрегать влиянием на перемещения поперечных, а в некоторых случаях и продольных сил. Интегралы Мора вычисляют приближенно, используя численные методы. Способы «перемножения эпюр» неприменимы, так как все эпюры внутренних усилий в арках криволинейны. В виде исключения можно разбить ось арки на малые участки, в пределах которых и ось, и эпюры считать прямолинейными; «перемножить» эпюры для каждого участка, а результаты просуммировать.

Законы изменения сечений арок:Закон изменения площади сечения , Законы изменения момента инерции в произвольных сечениях: 1)2ш:

2) бесш. , n-число равное 0,1,2…, - момент инерции сечения в замке.