Теорема о взаимности единичных реакций и перемещений в статически неопределимых системах (вторая теорема Рэлея).

На рис. показаны два состояния произвольной статически неопределимой системы (рамы). В первом состоянии (состоянии i) на раму действует обобщённая сила Fi = 1. Опорная связь j получает единичное перемещение во втором состоянии (состоянии j). Введём обозначения: r'ji – реакция в j-й связи от обобщённой силы Fi = 1 в состоянии i, – перемещение по направлению обобщённой силы Fi = 1 от смещения связи j на единицу в состоянии j. За положительное направление перемещения примем перемещение, происходящее по направлению обобщённой силы Fi = 1, а за положительную реакцию r'ji реакцию, направление которой совпадает с перемещением j-й связи.

 

Для состояний i и j используем теорему о взаимности возможных работ внешних сил

А _ij=1*δ’_ij + r’_ji*1

Возможная работа А _ji внешних сил состояния j на перемещениях, вызываемых внешними силами состояния i, равна нулю, так как в состоянии i перемещения по направлению опорных связей в том числе и по направлению связи j, отсутствуют, т.е.

А _ji=0

В соответствии с выражением А _ij= А _ji, поэтому

1*δ’_ij + r’_ji*1=0

-δ’_ij = r’_ji

Соотношение является математической формулировкой теоремы о взаимности реакций и перемещений: реакция в

j-й связи от силы Fi = 1 с обратным знаком численно равна перемещению в направлении i-й силы от смещения j-й связи на единицу.

 

Предельным пластичным состоянием сечения называется такое состояние, при котором во всех точках сечения напряжение равно пределу текучести.

Мpl=ϬyWpl

Wpl-пластический момент сопротивления для сим. сечения Wpl=2Sx*

Sx*- статический момент полусечения

Методика расчета статически-определимых балок

Целью расчета является определение предельной нагрузки, при которой в опасном сечении возникает предельное состояние.

Строится эпюра моментов в упругой стадии работы.

По ней выбирается опасное сечение.

Момент в опасном сечении приравнивается к предельному моменту, при этом нагрузка обозначается как предельная.

Выражается предельная нагрузка через предельный момент.

Ful/4=Mpl= ϬyWpl

Fu=Mpl*4/l=4 ϬyWpl/l

 

 

Расчет статически неопределимых балок с учетом пластических деформаций.

Для статически неопределимых балок образование одного плас­тического шарнира не приводит к исчерпанию несущей способнос­ти, т.к. в этом случае степень кинематической определимости сис­темы снижается на одну единицу. В случае n раз статически неоп­ределимой балки исчерпание несущей способности происходит при формировании n + 1 пластических шарниров. Однако в ряде случа­ев часть балки может стать геометрически изменяемой при значи­тельно меньшем числе пластических шарниров.

Например, в статически многократ­но неопределимой балке с консолью (рис.20.12), несущая способность задан­ной системы исчерпается в случае во­зникновения первого же пластического шарнира над крайней правой опорой.

Рис. 20.12

 

Для расчета статически неопределимых систем по теории пре­дельного равновесия можно воспользоваться одним из двух спосо­бов - кинематическим или статическим.

При применении кинематического способа, в предельном сос­тоянии составляется уравнение работы всех внешних и внутренних усилий на основе принципа возможных перемещений. Этот принцип формулируется так: если система твердых тел находится в равновесии под действием системы сил, то работа, совершаемая этими силами на любом малом возможном перемещении системы, должна быть равна нулю.

При применении статического способа при отсутствии упругого расчета, на основе которого, предварительно можно опре­делить наиболее вероятную схему разрушения конструкции, зада­ются различные схемы разрушения предельной стадии работы рас­сматриваемой системы, и для каждой из них составляются уравне­ния равновесия и определяют­ся предельные значения внеш­них сил. Из их числа, наи­меньшая является расчетной величиной предельной силы.

Из числа рассмотренных схем разрушения, на основа­нии которых определяется пре­дельная сила, является наибо­лее вероятной схемой, разру­шения конструкции.