Неопределимых стержневых систем 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Неопределимых стержневых систем



Пример 2.5.1.

Абсолютно жесткий брус закреплен с помощью шарнирно-неподвижной опоры и двух стальных стержней одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения F = 5 см2 (рис. 4а). Определить усилия и напряжения в стержнях от на грузки Р = 50 кН.

Решение.

1. Степень статической неопределимости системы: n = nр – nу = 4 – 3 = 1,

где nр = 4, так как имеют место реакции Rc, Rd, и ;

nу = 3, т.к. для плоской системы в общем случае могут быть использованы 3 уравнения статики.

Система один раз статически неопределима.

2. Применяем метод сечений. Продольные усилия в стержнях АС и BD принимаем растягивающими и обозначим N1 и N2. Составим уравнение равновесия

ΣМ0 = 0, N1cos45°α + N2cos6002α – P · I,5α = 0 (2.5.1)


 

Можно составить еще два уравнения равновесия ΣХ = 0 и ΣY = 0, но в них войдут еще два неизвестных усилия - реакции в опоре О, которые нас не интересуют. Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Система один раз статически неопределима.

3. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы. После нагружения системы силой Р брус ОАВ займет положение ОА1В1 (рис 46). Стержни удлиняются Δℓ1 = АА2 и Δℓ2 = ВВ2. Тогда из подобия треугольников ОАА1 и ОВВ1 получим

= или =

или = (2.5.2)

= ; = N2

4. Решая совместно полученные уравнения равновесия (2.5.1) и перемещений (2.5.2), найдем N1 и N2:

N1 · + · · 2 = 1,5 Р

Тогда N1 = 0,707 Р · 50 = 35,35 кН,

N2 = P = 50 kH.

5. Напряжения в стержнях:

σ1 = = = 7,07 · 107 Па = 70,7 МПа,

σ2 = = = 10 · 107 Па = 100 МПа.


а)

б)

Рис. 4

Пример 2.5.2.

 

Абсолютно жесткий брус подвешен на трех стальных стержнях одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения F = 4 см2 (рис. 5а). Определить усилия и напряжение, возникающие в стержнях от нагревания третьего стержня на 60°. Коэффициент линейного расширения αст = 12,5·10–6 1/град, Ест = 2 105 МПа.

 

 
 
 

Решение:

1. Степень статической неопределимости системы:

n = nр – nу = 3 – 2 = 1,

где nр = 3, число реакций;

nу = 2, число уравнений равновесия статики, которые могут быть использованы. В данном случае только два, все силы действующие на плоскую систему параллельны.

 

а) б)

Рис. 5

2. Предположим, что все стержни растянуты (рис. 5б). Составим уравнения равновесия:

åУ = 0, N1 + N2 + N3 = 0 (2.5.3)

åMA = 0, N2× а + N3×2 а = 0, или N2 = - 2N3 (2.5.4)

Система один раз статически неопределима, так как два уравнения равновесия содержат три неизвестные усилия.


3. Составим уравнение перемещений. После нагревания третьего стержня брус АВС займет новое положение А1В1С1. Тогда из подобия треугольников А1С1С2 и А1В1В2 получим зависимости:

(2.5.5)

Изменение длины третьего стержня произойдет в результате его нагрева и возникающего в нем усилия N3, т.е. = Следовательно,
 
 

уравнение перемещений примет вид

или αΔtEF + N3 – N1 = 2N2 –2N1 (2.5.6)

 
 

4. Решая совместно уравнения (1), (2) и (4), найдем:

 
 

5. Напряжения в стержнях:

 

Пример 2.5.3.

В системе из трех стержней (рис. 6а) длина среднего стержня меньше проектной длины на d = 1 мм. Наклонные стержни стальные с площадью Fст = 10 см2, вертикальный стержень медный с площадью Fм = 25 см2. Определить усилия и напряжения в стержнях после сборки конструкции. Ест = 2×105 МПа; Ем = 1×105 МПа; а = 1м; b = 1м.

Решение:

1. Степень статической неопределимости системы ,

где - число реакций

– число уравнений статики, которые могут быть использованы для решения системы.

Так как все силы сходятся в одной точке, то сумма моментов этих сил относительно любой точки системы тождественно равна 0


а) б)

Рис. 6

В этом случае для плоской системы остается только два уравнения равновесия статики.

Схему системы после сборки (рис. 6б) рисуем, предполагая, что в действительности стержень испытывает сжатие.

2. Уравнения равновесия статики имеют вид:

åХ = 0 –N1sin45° + N3sin45° = 0 N1 = N3 (2.5.7)

åY = 0 N1cos45°+N2+N3cos45° = 0 (2.5.8)

С учетом уравнения (2.5.7) из (2.5.8) получим

N2 = -2N1cos45° (2.5.9)

3. Составим уравнение совместности перемещений. Из рис. 6б видно, что

учитывая, что ℓст = , а ℓм = b, после подстановки получим

(2.5.10)

4. Решая совместно (2.5.9) и (2.5.10) получим:

Подставляя величины в Н и мм получим:

 
 

 

5. Напряжения в стержнях:

Геометрические характеристики сечений

Общие замечания

На прочность, жесткость и устойчивость стержней и стержневых систем большое влияние оказывают размеры и форма поперечного сечения стержней. Последние оцениваются геометрическими характеристиками сечений, к которым относятся: ширина b, высота h, площадь F сечения; положение центра тяжести хс, ус и главных центральных осей, статический момент Sу=F×Хc, осевые моменты инерции Jх и Jу центробежный момент инерции Jxy, полярный момент инерции Jρ , радиусы инерции ix и iy, осевые Wx, Wy и полярный Wρ моменты сопротивления, и другие характеристики.

Далее рассматриваются методические указания и пример расчета таких характеристик для сложного составного сечения из двух профилей.


Методические указания

1. Выписать из сортамента геометрические характеристики заданных стандартных профилей. Выполнить чертеж заданного плоского сечения в масштабе 1:1 или 1:2. На чертеже указать все необходимые размеры сечения.

2. Выбрать произвольные координатные оси х1 и у1, по отношению к которым определяется положение центра тяжести сечения. Удобно в качестве начальных вспомогательных осей принять главные центральные оси двутавра или швеллера.

3. Сложное сечение разбить на отдельные простые фигуры (швеллер-швеллер, швеллер-уголок, швеллер-двутавр, двутавр-уголок), площади и положение центров тяжести которых заранее известны и ранее выписаны.

4. Определить координаты центров тяжести простых фигур относительно начальных координатных осей х1 и у1 и нанести эти координаты на чертеже сечения.

5. Вычислить координаты центров тяжести всего сложного сечения по формулам:

(3.2.1)

(3.2.2)

Для плоских сечений, имеющих криволинейный контур, эти координаты вычисляются по формулам:

(3.2.3)


6. На чертеже плоского сечения нанести положение новых центральных осей хс и ус (проходящих через центр тяжести сложного сечения), проводя их параллельно осям х1 и у1.

Одновременно нанести координаты центров тяжести сечений каждой отдельной фигуры прокатного профиля относительно центральных осей хс и ус.

7. Найти значения осевых моментов инерции относительно центральных осей хс и ус, используя при этом формулы перехода к параллельным осям:

(3.2.4)

где Jхi и Jуi – моменты инерции отдельных фигур сложного сечения относительно собственных осей хi и yi, т.е. осей, проходящих через их центры тяжести, но проведенных параллельно осям хс и ус. Для прокатных профилей, входящих в состав сечения, величины Jхi и Jуi берутся из сортамента.

8. Найти величину центробежного момента инерции для заданного сложного сечения по формуле:

(3.2.5)

Значения Jхiy i – центробежных моментов инерции отдельных фигур сложного сечения относительно собственных главных центральных осей равны нулю.


Значения Jxi yi – центробежных моментов инерции равнобоких уголков, относительно собственных центральных осей определяются по формуле:

(3.2.6)

где a = ± 45°;

Jma x максимальный момент инерции сечения уголка;

Jmin– минимальный момент сечения уголка.

Jxiyi = 0, так как оси уголка х0 и у0 – главные. При определении центробежных моментов инерции сечений уголков, необходимо следить за знаком у центробежного момента инерции. Этот знак зависит от знака, входящего в формулы угла a.

Если ось, относительно которой момент инерции уголка максимальный, проходит через вторую и четвертую четверти осей хi и уi, то a следует брать с плюсом. Если через первую и третью, то a следует брать с минусом.

9. Определить угол наклона главных центральных осей инерции сложного сечения к центральным осям хс и ус по формуле:

tg2a0 = (3.2.7)

10. Определить величину главных центральных моментов инерции по формуле:

(3.2.8)


11. При определении оси, относительно которой момент инерции будет максимальный, следует помнить, что поворот оси на угол a0 увеличивает больший момент инерции относительно этой оси и уменьшает меньший.

12. Проверить правильность вычислений

(3.2.9)

13. Определить моменты сопротивления сложного сечения по формулам

(3.2.10)

(3.2.10а)

За расчетный момент сопротивления принимается больший.

14. Определить грузоподъемность Р и q по двум расчетным схемам из условия прочности по нормальным напряжениям

выразив соответственно Мmax через Р, q, ℓ по 1 и 2 расчетной схеме.

Пример расчета балки несимметричного сечения

Сложное сечение состоит из швеллера №20 и равнобокого уголка 100х100х10 (рис. 7). Геометрические характеристики:

швеллера

F1 = 23,4 см2; Jх1= 1520 см4; Jy1 = 113 см4; Z01 = 2,07 см; h = 20 см;

уголки

F2 = 19,20 см2; Jx2 = Jy2 = 179 см4; Jmax = Jx0 = 284 см4;

Jmin = Jx0 = =74,1 см4; Z02 = 2,83 см.

Выбираем в качестве вспомогательных осей центральные оси швеллера и определяем координаты центра тяжести сечения по формулам:


 

Рис 7


Отложив полученные значения от осей х1 и у1, находим положение центра тяжести сечения тяжести сечения Проводим центральные оси хс и ус и относительно этих осей находим осевые моменты инерции сечения по формулам:

Координаты центров тяжести швеллера и уголка относительно осей хс и ус будут:

b1 = yc = 3,23 см;

b2 = – yc – z02 = 10 – 3,23 – 2,83 = 3,94 см;

α1= – xc = –2,21 см;

α2 = z01 + z02 – xc = 2,07 + 2,83 – 2,21 = 2,69 см.

Центробежный момент инерции уголка относительно его центральных осей х2 и у2 будет:

Учитывая, что центробежный момент инерции для швеллера равен нулю (Jx1y1 = 0), определяем центробежный момент по формуле:

Jxcyc = a 1b1F1 + Jx2y2 + a 2b2F2 =

= (–2,21)(–3,23) · 23,4 + 105 + 2,69 · 3,94 · 19,2 = 475,5 см4.


Положение главных центральных осей определим по формуле:

tg2α0 = = – 0,56,

откуда 2a0 = -29,25° a0 = -14,62°.

Поворачиваем центральные оси хс и ус по часовой стрелке на угол 14,62° и обозначаем оси через х и у.

Вычисляем значения главных центральных моментов инерции по формуле:

= ± =

= ± = 1393,2±972,2

или окончательно получаем Jmax = 2365,4 см4 Jmin = 421 см4.

Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей (ус или хс), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение, Поэтому Jх = Jmax = 2365,4 см4, Jy = Jmin = 421 см4.

Выполним проверку правильности вычислений:

1. Jxc + Jyc = Jmax + Jmin = 2241,2 + 545,2 = 2365,4 + 421 = 2786,4 см4;

2.

Определим моменты сопротивлений относительно осей х и у:

см,

см

Ymax и Xmax снимаются с чертежа.

Определим грузоподъемность балки по первой схеме нагружения. В этом случае максимальный изгибающий момент будет в заделке и равен Мmax = Pℓ. Поэтому из условия прочности по нормальным напряжениям получим:

Откуда

Во втором случае нагружения максимальный изгибающий момент будет по середине балки и равен Mmax=

Поэтому получим:

 

Откуда:



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 829; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.200.26.112 (0.071 с.)