Неопределимых стержневых систем

Пример 2.5.1.

Абсолютно жесткий брус закреплен с помощью шарнирно-неподвижной опоры и двух стальных стержней одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения F = 5 см² (рис. 4а). Определить усилия и напряжения в стержнях от на грузки Р = 50 кН.

Решение.

1. Степень статической неопределимости системы: n = n_р – n_у = 4 – 3 = 1,

где n_р = 4, так как имеют место реакции R_c, R_d, и ;

n_у = 3, т.к. для плоской системы в общем случае могут быть использованы 3 уравнения статики.

Система один раз статически неопределима.

2. Применяем метод сечений. Продольные усилия в стержнях АС и BD принимаем растягивающими и обозначим N₁ и N₂. Составим уравнение равновесия

ΣМ₀ = 0, N₁cos45°α + N₂cos60⁰2α – P · I,5α = 0 (2.5.1)

 

Можно составить еще два уравнения равновесия ΣХ = 0 и ΣY = 0, но в них войдут еще два неизвестных усилия - реакции в опоре О, которые нас не интересуют. Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Система один раз статически неопределима.

3. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы. После нагружения системы силой Р брус ОАВ займет положение ОА₁В₁ (рис 46). Стержни удлиняются Δℓ₁ = АА₂ и Δℓ₂ = ВВ₂. Тогда из подобия треугольников ОАА₁ и ОВВ₁ получим

= или =

или = (2.5.2)

= ; = N₂

4. Решая совместно полученные уравнения равновесия (2.5.1) и перемещений (2.5.2), найдем N₁ и N₂:

N₁ · + · · 2 = 1,5 Р

Тогда N₁ = 0,707 Р · 50 = 35,35 кН,

N₂ = P = 50 kH.

5. Напряжения в стержнях:

σ₁ = = = 7,07 · 10⁷ Па = 70,7 МПа,

σ₂ = = = 10 · 10⁷ Па = 100 МПа.

а)

б)

Рис. 4

Пример 2.5.2.

 

Абсолютно жесткий брус подвешен на трех стальных стержнях одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения F = 4 см² (рис. 5а). Определить усилия и напряжение, возникающие в стержнях от нагревания третьего стержня на 60°. Коэффициент линейного расширения α_ст = 12,5·10^–6 1/град, Е_ст = 2 10⁵ МПа.

 

Решение:

1. Степень статической неопределимости системы:

n = n_р – n_у = 3 – 2 = 1,

где n_р = 3, число реакций;

n_у = 2, число уравнений равновесия статики, которые могут быть использованы. В данном случае только два, все силы действующие на плоскую систему параллельны.

 

а) б)

Рис. 5

2. Предположим, что все стержни растянуты (рис. 5б). Составим уравнения равновесия:

åУ = 0, N₁ + N₂ + N₃ = 0 (2.5.3)

åM_A = 0, N₂× а + N₃×2 а = 0, или N₂ = - 2N₃ (2.5.4)

Система один раз статически неопределима, так как два уравнения равновесия содержат три неизвестные усилия.

3. Составим уравнение перемещений. После нагревания третьего стержня брус АВС займет новое положение А₁В₁С₁. Тогда из подобия треугольников А₁С₁С₂ и А₁В₁В₂ получим зависимости:

(2.5.5)

Изменение длины третьего стержня произойдет в результате его нагрева и возникающего в нем усилия N₃, т.е. = Следовательно,

уравнение перемещений примет вид

или αΔtEF + N₃ – N₁ = 2N₂ –2N₁ (2.5.6)

4. Решая совместно уравнения (1), (2) и (4), найдем:

5. Напряжения в стержнях:

 

Пример 2.5.3.

В системе из трех стержней (рис. 6а) длина среднего стержня меньше проектной длины на d = 1 мм. Наклонные стержни стальные с площадью F_ст = 10 см², вертикальный стержень медный с площадью F_м = 25 см². Определить усилия и напряжения в стержнях после сборки конструкции. Е_ст = 2×10⁵ МПа; Е_м = 1×10⁵ МПа; а = 1м; b = 1м.

Решение:

1. Степень статической неопределимости системы ,

где - число реакций

– число уравнений статики, которые могут быть использованы для решения системы.

Так как все силы сходятся в одной точке, то сумма моментов этих сил относительно любой точки системы тождественно равна 0

а) б)

Рис. 6

В этом случае для плоской системы остается только два уравнения равновесия статики.

Схему системы после сборки (рис. 6б) рисуем, предполагая, что в действительности стержень испытывает сжатие.

2. Уравнения равновесия статики имеют вид:

åХ = 0 –N₁sin45° + N₃sin45° = 0 N₁ = N₃ (2.5.7)

åY = 0 N₁cos45°+N₂+N₃cos45° = 0 (2.5.8)

С учетом уравнения (2.5.7) из (2.5.8) получим

N₂ = -2N₁cos45° (2.5.9)

3. Составим уравнение совместности перемещений. Из рис. 6б видно, что

учитывая, что ℓ_ст = , а ℓ_м = b, после подстановки получим

(2.5.10)

4. Решая совместно (2.5.9) и (2.5.10) получим:

Подставляя величины в Н и мм получим:

 

5. Напряжения в стержнях:

Геометрические характеристики сечений

Общие замечания

На прочность, жесткость и устойчивость стержней и стержневых систем большое влияние оказывают размеры и форма поперечного сечения стержней. Последние оцениваются геометрическими характеристиками сечений, к которым относятся: ширина b, высота h, площадь F сечения; положение центра тяжести х_с, у_с и главных центральных осей, статический момент S_у=F×Х_c, осевые моменты инерции J_х и J_у центробежный момент инерции J_xy, полярный момент инерции J_ρ , радиусы инерции i_x и i_y, осевые W_x, W_y и полярный W_ρ моменты сопротивления, и другие характеристики.

Далее рассматриваются методические указания и пример расчета таких характеристик для сложного составного сечения из двух профилей.

Методические указания

1. Выписать из сортамента геометрические характеристики заданных стандартных профилей. Выполнить чертеж заданного плоского сечения в масштабе 1:1 или 1:2. На чертеже указать все необходимые размеры сечения.

2. Выбрать произвольные координатные оси х₁ и у₁, по отношению к которым определяется положение центра тяжести сечения. Удобно в качестве начальных вспомогательных осей принять главные центральные оси двутавра или швеллера.

3. Сложное сечение разбить на отдельные простые фигуры (швеллер-швеллер, швеллер-уголок, швеллер-двутавр, двутавр-уголок), площади и положение центров тяжести которых заранее известны и ранее выписаны.

4. Определить координаты центров тяжести простых фигур относительно начальных координатных осей х₁ и у₁ и нанести эти координаты на чертеже сечения.

5. Вычислить координаты центров тяжести всего сложного сечения по формулам:

(3.2.1)

(3.2.2)

Для плоских сечений, имеющих криволинейный контур, эти координаты вычисляются по формулам:

(3.2.3)

6. На чертеже плоского сечения нанести положение новых центральных осей х_с и у_с (проходящих через центр тяжести сложного сечения), проводя их параллельно осям х₁ и у₁.

Одновременно нанести координаты центров тяжести сечений каждой отдельной фигуры прокатного профиля относительно центральных осей х_с и у_с.

7. Найти значения осевых моментов инерции относительно центральных осей х_с и у_с, используя при этом формулы перехода к параллельным осям:

(3.2.4)

где Jх_i и Jу_i – моменты инерции отдельных фигур сложного сечения относительно собственных осей х_i и y_i, т.е. осей, проходящих через их центры тяжести, но проведенных параллельно осям х_с и у_с. Для прокатных профилей, входящих в состав сечения, величины Jх_i и Jу_i берутся из сортамента.

8. Найти величину центробежного момента инерции для заданного сложного сечения по формуле:

(3.2.5)

Значения Jх_iy _i – центробежных моментов инерции отдельных фигур сложного сечения относительно собственных главных центральных осей равны нулю.

Значения Jx_i y_i – центробежных моментов инерции равнобоких уголков, относительно собственных центральных осей определяются по формуле:

(3.2.6)

где a = ± 45°;

J_{ma x} – максимальный момент инерции сечения уголка;

J_min– минимальный момент сечения уголка.

Jx_iy_i = 0, так как оси уголка х₀ и у₀ – главные. При определении центробежных моментов инерции сечений уголков, необходимо следить за знаком у центробежного момента инерции. Этот знак зависит от знака, входящего в формулы угла a.

Если ось, относительно которой момент инерции уголка максимальный, проходит через вторую и четвертую четверти осей х_i и у_i, то a следует брать с плюсом. Если через первую и третью, то a следует брать с минусом.

9. Определить угол наклона главных центральных осей инерции сложного сечения к центральным осям х_с и у_с по формуле:

tg2a₀ = (3.2.7)

10. Определить величину главных центральных моментов инерции по формуле:

(3.2.8)

11. При определении оси, относительно которой момент инерции будет максимальный, следует помнить, что поворот оси на угол a₀ увеличивает больший момент инерции относительно этой оси и уменьшает меньший.

12. Проверить правильность вычислений

(3.2.9)

13. Определить моменты сопротивления сложного сечения по формулам

(3.2.10)

(3.2.10а)

За расчетный момент сопротивления принимается больший.

14. Определить грузоподъемность Р и q по двум расчетным схемам из условия прочности по нормальным напряжениям

выразив соответственно М_max через Р, q, ℓ по 1 и 2 расчетной схеме.

Пример расчета балки несимметричного сечения

Сложное сечение состоит из швеллера №20 и равнобокого уголка 100х100х10 (рис. 7). Геометрические характеристики:

швеллера

F₁ = 23,4 см²; Jх₁= 1520 см⁴; Jy₁ = 113 см⁴; Z₀₁ = 2,07 см; h = 20 см;

уголки

F₂ = 19,20 см²; Jx₂ = Jy₂ = 179 см⁴; J_max = Jx₀ = 284 см⁴;

J_min = Jx₀ = =74,1 см⁴; Z₀₂ = 2,83 см.

Выбираем в качестве вспомогательных осей центральные оси швеллера и определяем координаты центра тяжести сечения по формулам:

 

Рис 7

Отложив полученные значения от осей х₁ и у₁, находим положение центра тяжести сечения тяжести сечения Проводим центральные оси х_с и у_с и относительно этих осей находим осевые моменты инерции сечения по формулам:

Координаты центров тяжести швеллера и уголка относительно осей х_с и у_с будут:

b₁ = y_c = 3,23 см;

b₂ = – y_c – z₀₂ = 10 – 3,23 – 2,83 = 3,94 см;

α₁= – x_c = –2,21 см;

α₂ = z₀₁ + z₀₂ – x_c = 2,07 + 2,83 – 2,21 = 2,69 см.

Центробежный момент инерции уголка относительно его центральных осей х₂ и у₂ будет:

Учитывая, что центробежный момент инерции для швеллера равен нулю (Jx₁y₁ = 0), определяем центробежный момент по формуле:

Jx_cy_c = a ₁b₁F₁ + Jx₂y₂ + a ₂b₂F₂ =

= (–2,21)(–3,23) · 23,4 + 105 + 2,69 · 3,94 · 19,2 = 475,5 см⁴.

Положение главных центральных осей определим по формуле:

tg2α₀ = = – 0,56,

откуда 2a₀ = -29,25° a₀ = -14,62°.

Поворачиваем центральные оси х_с и у_с по часовой стрелке на угол 14,62° и обозначаем оси через х и у.

Вычисляем значения главных центральных моментов инерции по формуле:

= ± =

= ± = 1393,2±972,2

или окончательно получаем J_max = 2365,4 см⁴ J_min = 421 см⁴.

Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей (у_с или х_с), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение, Поэтому Jх = J_max = 2365,4 см⁴, Jy = J_min = 421 см⁴.

Выполним проверку правильности вычислений:

1. Jx_c + Jy_c = J_max + J_min = 2241,2 + 545,2 = 2365,4 + 421 = 2786,4 см⁴;

2.

Определим моменты сопротивлений относительно осей х и у:

см,

см

Y_max и X_max снимаются с чертежа.

Определим грузоподъемность балки по первой схеме нагружения. В этом случае максимальный изгибающий момент будет в заделке и равен М_max = Pℓ. Поэтому из условия прочности по нормальным напряжениям получим:

Откуда

Во втором случае нагружения максимальный изгибающий момент будет по середине балки и равен M_max=

Поэтому получим:

 

Откуда: