Проверка прочности балки при плоском поперечном изгибе

Общие положения

Плоским поперечным изгибом называется такое напряженно-деформи­рованное состояние балки, при котором из всех внутренних силовых факторов не равны нулю только поперечная сила в направлении одной оси и изгибающий момент относительно другой главной центральной оси инерции сечения балки.

Плоский поперечный изгиб реализуется, когда нагрузка приложена в продольной плоскости симметрии или приводится к ней в каждом поперечном сечении. Если такой плоскости у балки нет, то нагрузка должна быть приложена в одной из главных плоскостей инерции балки (главная плоскость инерции – это плоскость, проходящая через одну через одну из главных центральных осей поперечного сечения и продольную ось балки).

Проверка прочности предусматривает определение внутренних силовых факторов Q(z) и М(z) в каждом сечении балки, нахождение по ним максимальных по модулю нормальных - s, касательных - t и эквивалентных - s_экв напряжений в соответствующих точках балки и сравнение названных напряжений с допускаемыми.

Методические указания к выполнению проверки прочности балки и пример расчета приведены в подразделах 4.2 и 4.3.

Методические указания

1. Начертить в удобном масштабе расчетную схему балки, указать на ней числовые значения сил, нагрузок, моментов, длин пролетов, консолей и участков, показать реакции опор, пронумеровать участки.

2. Составить уравнения равновесия балки, определить опорные реакции и нанести их значения на схему.

3. Применить метод сечений при определении поперечных сил Q и изгибающих моментов М, построить эпюры Q и М. При построении эпюр согласно этому методу следует мысленно разрезать балку на две части в пределах каждого участка произвольно намеченным и зафиксированным по длине поперечным сечением. Причем, фиксированная координата по длине балки для данного поперечного сечения может отсчитываться от общего начала координат слева и справа балки или отдельно в пределах каждого участка.

Отбросить одну часть, например, правую. Заменить ее действие на левую искомыми внутренними усилиями Q и М. Найти эти усилия из уравнений равновесия системы сил, приложенных к левой части, включая и сами Q и М.

Поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил.

Изгибающий момент М в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно центра тяжести сечения.

Поперечная сила в сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа – сверху вниз, и отрицательной – если направлена в противоположные стороны.

Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным – выпуклостью вверх.

Записать аналитические выражения для поперечной силы Q(z) и изгибающего момента М(z) для каждого участка балки и вычислить значения Q(z) и М(z) на границах каждого участка. Если зависимость для изгибающего момента на участке криволинейна, а поперечная сила на границах этого участка имеет разный знак, то следует определить координату z на этом участке, где поперечная сила равна нулю, и для этой точки вычислить экстремальное значение изгибающего момента.

По полученным значениям построить графики – эпюры Q(z) и М(z).

4. Используя дифференциальные зависимости при изгибе:

(4.2.1)

проверить правильность построения обеих эпюр.

5. Подобрать из условия прочности балки по нормальным напряжениям двутавровое сечение по моменту сопротивления W_х:

(4.2.2)

Выписать из сортамента геометрические характеристики сечения W_x, Jх – осевой момент инерции, S_x – статический момент полусечения, s – толщина стенки, b и t – ширина и толщина полки двутавра.

6. Определить максимальные нормальные напряжения по формуле:

(4.2.3)

и построить эпюру s в сечении балки.

7. Проверить прочность балки по касательным напряжениям:

(4.2.4)

и построить эпюру касательных напряжений t в стенке двутавра, рассчитав их в точках перехода к полке по формуле:

(4.2.5)

8. Проверить прочность балки по III теории прочности:

(4.2.6)

Так как расчетное напряжение зависит от s и t, то проверке подлежит тот элемент материала балки, для которых s и t будут одновременно возможно большими и это осуществимо при наличии таких двух условий:

а) изгибающий момент и поперечная сила достигают наибольшей величины в одном и том же сечении по длине балки;

б) ширина резко меняется вблизи краев сечения (например, в двутавре или пустотелом прямоугольном профиле). Нормальные и касательные напряжения на уровне перехода от полки к стенке (в точках «к» см. рис.8) для таких профилей имеют величину, близкую максимальной.

Указанные два условия, таким образом, определяют и необходимость дополнительной проверки прочности, а также сечение и точку на нем, для которых эта проверка должна быть сделана.

Если эти условия не имеют места, тогда следует выбрать несколько поперечных сечений по длине балки и несколько точек по высоте сечения, могущих дать наиболее высокие значения расчетного напряжения.

Для двутаврового сечения:

 

(4.2.7)

(4.2.8)

Значения М и Q в формулах (7) и (8) берутся для одного выбранного сечения.

Рис. 8

Пример расчета

Для двутавровой балки (рис. 9а)

Построить эпюры Q и М.

Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение балки, если [s] = 160 МПа.

Построить эпюру s в стенке двутавра.

Проверить прочность балки по касательным напряжениям, если [t] = 100 МПа.

Построить эпюру t в сечении балки.

Проверить прочность балки по III теории прочности.

Исходные данные:

С = 1 м; а = 2 м; b = 3 м; = 5 м; q₁ = 20 кНм; q₂ = 40 кНм; М = 100 кНм; Р₁ = 40 кН; Р₂ = 50 кН; [σ ] = 160 МПа; [ τ ] = 100 МПа.

Определение опорных реакций

кН;

кН

Проверка:

 

 

Рис. 9

 

2. Построение эпюры поперечных сил Q

При кН; При кН;

При кН; При кН;

При кН; При кН;

Эпюра Q показана на рис. 9б.

3. Построение эпюры М изгибающих моментов

При кНм; При кНм;

Найдем экстремум изгибающего момента:

Отсюда

м;

При кНм; При кНм;

При кНм;

При z = 0 M₃ = 0; При z = 1 M₃ = –70 кНм;

По полученным значениям ординат на участках построена эпюра М (рис. 9в).

1. Из условия прочности по нормальным напряжениям произведем подбор сечения балки.

Из сортамента выбираем двутавр № 36 с W_х = 743 см³; Jх = 13380 см⁴; b = 14,5 см; S_х = 423 см³; t = 1,23 см; S = 0,75 см.

2. Определим максимальные нормальные напряжения по формуле:

Эпюра нормальных напряжений в сечении показана на рис. 9г. Поскольку максимальный изгибающий момент отрицательный, то верхние волокна растянуты, а нижние сжаты.

3. Проверим прочность балки по касательным напряжениям. Из рис. 9б видно, что максимальная поперечная сила на опоре В. Поэтому проверку по касательным напряжениям проведем при Q_max = 102 кН.

= 43 МПа <[τ] = 100 МПа.

τ_max = 43 МПа <[τ] = 100 МПа.

Определим касательные напряжения в точке К – точке перехода от стенке к полке двутавра.

32 МПа

Эпюра касательных напряжений в стенке двутавра приведена на рис. 9г.

Проверка прочности балки по третьей теории прочности.

С использованием построенных эпюр Q и М определяем, что опасным сечением будет сечение на опоре А, где М = 100 кН×м; Q = 98 кН.

В опасном сечении в точке перехода от полки к стенке двутавра определим нормальные и касательные напряжения.

σ = = = 126 МПа;

τ = = = 30 МПа;

σ_экв = = 140 МПа.