Методические указания к расчету

Внецентренно нагруженных стержней

1. Следует определить геометрические характеристики поперечного сечения стержня – площадь F, координаты ее центра тяжести относительно начальных осей х_с и у_с и квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей и .

Определяются F по известным линейным размерам сечения и квад­ратам радиусов инерции по формулам

= , = (7.2.1)

где J_x, J_y - моменты инерции относительно главных центральных осей.

Способ вычисления положения центров тяжести площади сечения и вы­­чи­с­ление моментов инерции для сложных фигур представлен в разделе 3.

2. Определить положение нейтральной линии, т.е. линии, на которой нормальные напряжения будут равны нулю. Из формулы (7.1.1) следует, что это будет прямая линия, уравнение для которой будет иметь вид

1 + = 0 (7.2.2)

Провести нейтральную линию на чертеже сечения можно, вычислив координаты точек пересечения этой линией главных центральных осей по формулам (7.2.3), полученным из уравнения (7.2.2)

у₀ = ; х₀ = (7.2.3)

3. Наибольшие по модулю напряжения будут в наиболее удаленной от нейтральной оси в точке А (рис. 19). Подставив координаты этой точки в формулу (7.1.1), получим значение максимальных но модулю напряжений, а сравнив их с допускаемыми проверим прочность стержня.

Если точка приложения силы находится за пределами ядра се­чения, то в сечении стержня возникают напряжения разных знаков. (Ядром сечения называется область вокруг центра тяжести сечения, отличающегося тем, что сила, приложенная в пределах этой области, вызывает напряжения только одного знака во всем сечении). Так как материал стержня может иметь разные допускаемые нормальные напряжения для растяжения и сжатия, то прочность следует проверять для обоих случаев по условиям:

а„

‌‌‌│σ_с│_max ≤ [σ_c]; σ_Pmax ≤ [σ_p] (7.2.4)

Наибольшие по модулю напряжения противоположного, по срав­не­нию с действующими в точке А, знака будут находиться в наиболее уда­ленной точке В по другую сторону от нейтральной оси.

Подставив координаты точки В в уравнение (7.1.1) получим макси­мальные по модулю напряжения другого знака.

4. Нормальные напряжения в сечении будут изменяться по линейному закону от максимальных по модулю напряжений в точке А, через ноль на уровне нейтральной оси, до максимальных напряженийно модулю другого знака в точке В.

5. Допустимую нагрузку, которую может выдержать стержень, опр­е­деляем по формулам:

P ≤ (7.2.5а)

 

P ≤ (7.2.5б)

 

где [σ]_А, [σ]_В – допускаемые напряжения в точках А и В соответственно на растяжение и сжатие.

За действительную допускаемую нагрузку принимается меньшая из двух, полученных по формулам (7.2.5а и 7.2.5б).

Пример расчета стержня на внецентренное сжатие

Короткий чугунный стержень, поперечное сечение которого показано на рис. 18, загружен в точке А продольной сжимающей силой Р. Найти положение нулевой линии и построить эпюру нор­мальных напряжений. Определить допустимую нагрузку Р из условий прочности в опасных точках сечения стержня.

Рис. 18 Рис. 19

Даны геометрические размеры поперечного сечения стержня а = 8 см, a b = 10 см, а также допускаемые напряжения чугуна на сжатие [σ_с]= 120 МПа и на растяжение [σ_р]= 30 МПа.

Определение геометрических характеристик поперечного се­чения стержня.

Площадь F = 3 a · 2b + a · b = 24 · 20 + 8 · 10 = 560 см²

Сечение стержня симметрично относительно оси у, поэтому эта ось является главной центральной. Положение второй главной центральной оси найдем, если определим положение центра тяжести сечения на оси у. За начальную ось х примем ось, совпадающую с нижней гранью сечения, тогда координаты центра тяжести будут

y_c = =

= cм

где статический момент = .

Главные моменты инерции

J_x =

см⁴,

J_у = 23466,667 см⁴

Квадраты радиусов инерции

 

= = = 57,313 см²,

= = = 41,905 см².

2. Определение положения нулевой линии (рис. 19)

х₀ = – = –10,476 см,

у₀ = – = –3,210 см.

Здесь х_р и у_р - координаты точки приложения нагрузки Р.

3. Вычисление напряжений в опасных точках

Опасными точками являются наиболее удаленные от нулевой линии точки А и В поперечного сечения стержня. Вычислим напря­жение в этих точках в функции от нагрузки Р.

= – ,

= .

По этим значениям на рис. 19 построена в масштабе эпюра а.

4. Определение допустимой нагрузки Р из условий прочности.

Условие прочности для точки А, где действует наибольшее сжимающее напряжение

│σ_А│≤ [σ_С]

или ≤ [σ_С]

Отсюда

Р ≤ = = 9674,63 · 10² Н = 976 кН

Условие прочности для точки В, где возникает наибольшее растягивающее напряжение

│σ_В│≤ [σ_Р]

или

≤ [σ_Р]

Отсюда

Р ≤ = = 4275,90 · 10² Н = 428 кН

Окончательно принимаем допустимую нагрузку

Р = 428кН.