Методические указания к расчетно-графическим работам

Д. И. Борозна

Ю. А. Киселев

В. П. Дурнов

С. Н. Федотов

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методические указания к расчетно-графическим работам

 

 

 

Санкт-Петербург

УДК 620.1

ББК 30.121

Рецензент:

Канд. техн. наук, профессор С.О.Барышников

 

Составители:

Канд. техн.наук, доцент Д.И.Борозна,

Канд.техн.наук, доцент Ю.А.Киселев

Канд.техн.наук, доцент В.П.Дурнов

Канд.техн.наук, доцент С.Н.Федотов

Под общей редакцией доктора техн.наук, профессора В.Б.Чистова

 

Сопротивление материалов: Методические указания к расчетно-графическим работам. - СПб.: СПГУВК, 2011.- 108 с.

 

Приведены задания к расчетно-графическим работам, методические указания по их выполнению, примеры расчетов, приложение.

Предназначены для студентов очной и иных форм обучения по специальностям: 270104.65 Гидротехническое строительство, 180101.65 Кораблестроение, 180103.65 Судовые энергетические установки, 180403.65 Эксплуатация судовых энергетических установок, 180404.65 Эксплуатация судового электрооборудования оборудования и средств автоматики. 190602.65 Эксплуатация перегрузочного оборудования портов и транспортных терминалов.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций.

УДК 620.1

ББК 30.121

©Санкт-Петербургский государственный

университет водных коммуникаций, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Общие методические указания……………………………… 5

2. Осевое растяжение-сжатие................... …………………… 6

2.1. Общие положения……………………………………... 6

2.2. Методические указания к расчету статически

..... определимых задач на примере кронштейна………... 7

2.3. Пример расчета кронштейна.... …………………… 9

2.3.1. Определение усилий в стержнях……………... 9

2.3.2. Подбор сечений стержней …………………… 10

2.3.3. Определение напряжений в стержнях………... 11

2.3.4. Определение линейного перемещения узла..... 11

2.4. Методические указания к расчету статически

неопределимых стержневых систем………………………… 14

2.5. Примеры расчета статически

неопределимых стержневых систем………………………… 16

3. Геометрические характеристики сечений……………….. 23

3.1. Общие замечания....................... ………………….. 23

3.2. Методические указания.............. …………………... 24

3.3. Пример расчета балки несимметричного сечения… 27

4. Проверка прочности балки при плоском поперечном изгибе... 31

4.1. Общие положения....................... …………………. 31

4.2. Методические указания………………………………. 32

4.3. Пример расчета двутавровой балки 36

5. Расчет перемещений в балках при плоском

...... поперечном изгибе........................... …………………….. 41

5.1. Общие пояснения…………………………………… 41

5.2. Методические указания............... ……………………. 42

5.3. Пример расчета......................... ……………………. 44

6. Расчет статически неопределимой балки………………….................................... 56

6.1.Общие замечания…………………………………….. 56

6.2.Методические указания……………………………….. 58

6.2.1. Определение «лишних» неизвестных по

теореме о трех моментах…………………………….. 58

6.2.2. Определение «лишних» неизвестных способом

сравнения перемещений………………………........ 61

6.3. Пример расчета статически неопределимой балки…….. 62
7. Сложное сопротивление………………………………………. 75

7.1. Общие замечания............................ ……………………. 75

7.2. Методические указания к расчету

внецентренно нагруженных стержней……………………… 78

7.3. Пример расчета стержня на внецентренное сжатие………... 80

7.4. Методические указания к расчету вала на изгиб

с кручением...................................... …………………….. 83

7.5. Пример расчета вала на изгиб с кручением………………. 85

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Задания к расчетно-графическим работам …………………. 91

Задание к расчетно-графической работе № 1

По теме «Центральное растяжение-сжатие» ……………………. 92

Задача 1.1. Расчет кронштейна ………………………………. 92

Задача 1.2. Расчет статически неопределимой системы ….. 94

Задание к расчетно-графической работе № 2

«Геометрические характеристики сечений при изгибе балки» …... 96

Задание к расчетно-графической работе № 3
«Расчет двутавровой балки»……………………………………. 98

Задание к расчетно-графической работе № 4
«Определение перемещений балки»…………………………… 100

Задание к расчетно-графической работе № 5
«Расчет статически неопределимой балки»…………………… 102

Задание к расчетно-графической работе № 6

«Сложное сопротивление».................. …………………… 104

Задача 6.1. Расчет стержня на внецентренное сжатие ……… 104

Задача 6.2. Расчет вала на изгиб с кручением …………….. 106

Библиографический список…………………………………….. 108

Общие методические указания

При изучении курса «Сопротивления материалов», помимо слушания и конспектирования лекций, решения задач на практиче­ских занятиях и выполнения цикла лабораторных работ, студенты должны систематически работать дома: изучать материал лекций по конспекту и учебникам, решать задачи из задачника и по расчетно-графическим работам (РГР), требующих ответа на ряд вопросов при их выполнении.

Все задания по РГР имеют для каждого студента равные по трудоемкости варианты расчетных схем и исходных данных.

При выполнении домашних заданий студенты должны соблю­дать следующие правила.

1.1 По учебникам и конспекту лекций предварительно рас­смотреть теоретические вопросы, связанные с выполнением РГР, иметь полную ясность в том, что надо сделать в задании и как это де­лать.

1.2 Перед решением каждой задачи РГР, выписать полностью её условие, вычертить заданную расчетную схему в масштабе и ука­зать на ней все размеры и нагрузки в буквенных выражениях и числах.

1.3 Все расчеты должны сопровождаться краткими, последо­вательными и грамотными, без сокращения слов, объяснениями, чет­кими схемами и чертежами. Входящие в расчет величины должны быть указаны в буквенных выражениях и числах. Нa эпюрах простав­лены значения всех характерных ординат и указана их размерность. Графическая часть задания выполняется с соблюдением масштаба.

1.4 Все вычисления, как правило, достаточно производить с точностью до третьей значащей цифры.

1.5 Необходимые расчеты в общем виде и числах предъявля­ются в виде аккуратно оформленной пояснительной записки на сбро­шюрованных листах писчей бумаги с соблюдением требований ЕСКД.

1.6 Студент допускается к сдаче экзамена или зачета после предъявления правильно выполненных и зачтенных РГР, прохожде­ния лабораторного практикумаи защиты лабораторных работ, а также отработки пропущенных тем занятий.

1.7 На экзамене или зачете студент обязан показать знание теории и умение решать задачи.

Методические указания содержат рекомендации к решению за­дач по следующим разделам курса «Сопротивление материалов»:

■ осевое растяжение-сжатие;

■ расчет геометрических характеристик составных сечений;

■ проверка прочности при плоском поперечном изгибе; -перемещения при плоском поперечном изгибе;

■ расчет статически неопределимых балок;

■ сложное сопротивление (внецентренное сжатие, изгиб с кру­чением).

Методические указания к решению практических задач по дру­гим разделам курса «Сопротивление материалов» содержатся в мето­дических указаниях к лабораторным работам или рассматриваются на лекциях.

Осевое растяжение-сжатие

Общие положения

Осевое растяжение-сжатие - это напряженно-деформированное состояние стержня, при котором из всех 6-ти внутренних силовых факторов не равен нулю только один - продольная сила N.

Задача этой темы сводится к проверке прочности и жесткости стержней или стержневых систем Решение задач начинается с опре­деления продольной силы N. Если для нахождения продольной силы N во всех стержнях системы достаточно уравнений статики, то систе­ма называется статически определимой, если нет - статически неоп­ределимой.

Для нахождения продольной силы применяют метод сечений. Зная продольную силу, можно рассчитать нормальные напряжения, и, сравнив их с допускаемыми, проверить прочность стержня по условию (2.2.1), или по этому же условию рассчитать площадь се­чения стержня, при котором его прочность будет обеспечена.

Зная продольную силу N, размеры стержня (ℓ- длину и F -площадь поперечного сечения), можно по формуле (2.2.2) рассчитать удлинение или укорочение стержня и сравнить их с допускаемым, проверить жесткость стержня.

Методические указания к решению статически определимых за­дач и пример даны в подразделах 2.2 и 2.3.

Решение статически неопределимых задач усложняется необ­ходимостью нахождения неизвестных усилий, число которых больше, чем число уравнений статики, используемых для их нахождения.

Методические указания и пример решения статически неопре­делимых задач даны в подразделах 2.4 и 2.5.

Пример расчета кронштейна

Расчетная схема кронштейна приведена на рис. I. Горизонтальный стержень изготовлен из двух стальных равнополочных уголков, а наклонный стержень - из деревянного бруса квадратного сечения.

Даны геометрические размеры а = 2 м, b = 3 м; узловая нагрузка Р = 180 кН; допускаемые напряжения при центральном растяжении сжатии для стали [σ]_с = 90 МПа и древесины [σ]_д = 8 МПа; модули упругости для стали Е_с = 2· МПа и древесины Е_д = МПа.

Требуется подобрать поперечные сечения стержней из условия прочности и определить истинное линейное перемещение узла приложения нагрузки Р.

Подбор сечений стержней

Определим из условия прочности требуемую площадь сечения стального стержня

F_ст ≥ = = 1,334 · 10^–3 м² = 13,34 см²

Поскольку стальной стержень состоит из двух прокатных уголков, то требуемая площадь сечения одного уголка

F_ст = = = 6,67 см²

По сортаменту подбираем стальной равнополочный уголок |_70х70х5, фактическая площадь сечения которого составляет f_с = 6,86 см². Следовательно, общая площадь подобранного по сортаменту сечения стержня из 2 |_ 70x70x5 мм фактически составит F_c = 2f_c = 2 · 6,86 = 13,72 см².

Определим из условия прочности требуемую площадь сечения деревянного стержня

F_дт = = = 27,044 · 10^–3 м² = 270,44см²

Вычислим требуемую сторону квадрата, образующего поперечное сечение деревянного стержня

h_дт ≥ = = 16,44 см

Поскольку деревянные брусья имеют размеры сечения в целых сантиметрах, то необходимо принять фактический размер h_д = 17 см, а фактическая площадь квадратного сечения бруса составит

F_д = h_д² = 17² = 289см²

Примеры расчета статически

Общие замечания

На прочность, жесткость и устойчивость стержней и стержневых систем большое влияние оказывают размеры и форма поперечного сечения стержней. Последние оцениваются геометрическими характеристиками сечений, к которым относятся: ширина b, высота h, площадь F сечения; положение центра тяжести х_с, у_с и главных центральных осей, статический момент S_у=F×Х_c, осевые моменты инерции J_х и J_у центробежный момент инерции J_xy, полярный момент инерции J_ρ , радиусы инерции i_x и i_y, осевые W_x, W_y и полярный W_ρ моменты сопротивления, и другие характеристики.

Далее рассматриваются методические указания и пример расчета таких характеристик для сложного составного сечения из двух профилей.

Методические указания

1. Выписать из сортамента геометрические характеристики заданных стандартных профилей. Выполнить чертеж заданного плоского сечения в масштабе 1:1 или 1:2. На чертеже указать все необходимые размеры сечения.

2. Выбрать произвольные координатные оси х₁ и у₁, по отношению к которым определяется положение центра тяжести сечения. Удобно в качестве начальных вспомогательных осей принять главные центральные оси двутавра или швеллера.

3. Сложное сечение разбить на отдельные простые фигуры (швеллер-швеллер, швеллер-уголок, швеллер-двутавр, двутавр-уголок), площади и положение центров тяжести которых заранее известны и ранее выписаны.

4. Определить координаты центров тяжести простых фигур относительно начальных координатных осей х₁ и у₁ и нанести эти координаты на чертеже сечения.

5. Вычислить координаты центров тяжести всего сложного сечения по формулам:

(3.2.1)

(3.2.2)

Для плоских сечений, имеющих криволинейный контур, эти координаты вычисляются по формулам:

(3.2.3)

6. На чертеже плоского сечения нанести положение новых центральных осей х_с и у_с (проходящих через центр тяжести сложного сечения), проводя их параллельно осям х₁ и у₁.

Одновременно нанести координаты центров тяжести сечений каждой отдельной фигуры прокатного профиля относительно центральных осей х_с и у_с.

7. Найти значения осевых моментов инерции относительно центральных осей х_с и у_с, используя при этом формулы перехода к параллельным осям:

(3.2.4)

где Jх_i и Jу_i – моменты инерции отдельных фигур сложного сечения относительно собственных осей х_i и y_i, т.е. осей, проходящих через их центры тяжести, но проведенных параллельно осям х_с и у_с. Для прокатных профилей, входящих в состав сечения, величины Jх_i и Jу_i берутся из сортамента.

8. Найти величину центробежного момента инерции для заданного сложного сечения по формуле:

(3.2.5)

Значения Jх_iy _i – центробежных моментов инерции отдельных фигур сложного сечения относительно собственных главных центральных осей равны нулю.

Значения Jx_i y_i – центробежных моментов инерции равнобоких уголков, относительно собственных центральных осей определяются по формуле:

(3.2.6)

где a = ± 45°;

J_{ma x} – максимальный момент инерции сечения уголка;

J_min– минимальный момент сечения уголка.

Jx_iy_i = 0, так как оси уголка х₀ и у₀ – главные. При определении центробежных моментов инерции сечений уголков, необходимо следить за знаком у центробежного момента инерции. Этот знак зависит от знака, входящего в формулы угла a.

Если ось, относительно которой момент инерции уголка максимальный, проходит через вторую и четвертую четверти осей х_i и у_i, то a следует брать с плюсом. Если через первую и третью, то a следует брать с минусом.

9. Определить угол наклона главных центральных осей инерции сложного сечения к центральным осям х_с и у_с по формуле:

tg2a₀ = (3.2.7)

10. Определить величину главных центральных моментов инерции по формуле:

(3.2.8)

11. При определении оси, относительно которой момент инерции будет максимальный, следует помнить, что поворот оси на угол a₀ увеличивает больший момент инерции относительно этой оси и уменьшает меньший.

12. Проверить правильность вычислений

(3.2.9)

13. Определить моменты сопротивления сложного сечения по формулам

(3.2.10)

(3.2.10а)

За расчетный момент сопротивления принимается больший.

14. Определить грузоподъемность Р и q по двум расчетным схемам из условия прочности по нормальным напряжениям

выразив соответственно М_max через Р, q, ℓ по 1 и 2 расчетной схеме.

Пример расчета балки несимметричного сечения

Сложное сечение состоит из швеллера №20 и равнобокого уголка 100х100х10 (рис. 7). Геометрические характеристики:

швеллера

F₁ = 23,4 см²; Jх₁= 1520 см⁴; Jy₁ = 113 см⁴; Z₀₁ = 2,07 см; h = 20 см;

уголки

F₂ = 19,20 см²; Jx₂ = Jy₂ = 179 см⁴; J_max = Jx₀ = 284 см⁴;

J_min = Jx₀ = =74,1 см⁴; Z₀₂ = 2,83 см.

Выбираем в качестве вспомогательных осей центральные оси швеллера и определяем координаты центра тяжести сечения по формулам:

 

Рис 7

Отложив полученные значения от осей х₁ и у₁, находим положение центра тяжести сечения тяжести сечения Проводим центральные оси х_с и у_с и относительно этих осей находим осевые моменты инерции сечения по формулам:

Координаты центров тяжести швеллера и уголка относительно осей х_с и у_с будут:

b₁ = y_c = 3,23 см;

b₂ = – y_c – z₀₂ = 10 – 3,23 – 2,83 = 3,94 см;

α₁= – x_c = –2,21 см;

α₂ = z₀₁ + z₀₂ – x_c = 2,07 + 2,83 – 2,21 = 2,69 см.

Центробежный момент инерции уголка относительно его центральных осей х₂ и у₂ будет:

Учитывая, что центробежный момент инерции для швеллера равен нулю (Jx₁y₁ = 0), определяем центробежный момент по формуле:

Jx_cy_c = a ₁b₁F₁ + Jx₂y₂ + a ₂b₂F₂ =

= (–2,21)(–3,23) · 23,4 + 105 + 2,69 · 3,94 · 19,2 = 475,5 см⁴.

Положение главных центральных осей определим по формуле:

tg2α₀ = = – 0,56,

откуда 2a₀ = -29,25° a₀ = -14,62°.

Поворачиваем центральные оси х_с и у_с по часовой стрелке на угол 14,62° и обозначаем оси через х и у.

Вычисляем значения главных центральных моментов инерции по формуле:

= ± =

= ± = 1393,2±972,2

или окончательно получаем J_max = 2365,4 см⁴ J_min = 421 см⁴.

Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей (у_с или х_с), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение, Поэтому Jх = J_max = 2365,4 см⁴, Jy = J_min = 421 см⁴.

Выполним проверку правильности вычислений:

1. Jx_c + Jy_c = J_max + J_min = 2241,2 + 545,2 = 2365,4 + 421 = 2786,4 см⁴;

2.

Определим моменты сопротивлений относительно осей х и у:

см,

см

Y_max и X_max снимаются с чертежа.

Определим грузоподъемность балки по первой схеме нагружения. В этом случае максимальный изгибающий момент будет в заделке и равен М_max = Pℓ. Поэтому из условия прочности по нормальным напряжениям получим:

Откуда

Во втором случае нагружения максимальный изгибающий момент будет по середине балки и равен M_max=

Поэтому получим:

 

Откуда:

Общие положения

Плоским поперечным изгибом называется такое напряженно-деформи­рованное состояние балки, при котором из всех внутренних силовых факторов не равны нулю только поперечная сила в направлении одной оси и изгибающий момент относительно другой главной центральной оси инерции сечения балки.

Плоский поперечный изгиб реализуется, когда нагрузка приложена в продольной плоскости симметрии или приводится к ней в каждом поперечном сечении. Если такой плоскости у балки нет, то нагрузка должна быть приложена в одной из главных плоскостей инерции балки (главная плоскость инерции – это плоскость, проходящая через одну через одну из главных центральных осей поперечного сечения и продольную ось балки).

Проверка прочности предусматривает определение внутренних силовых факторов Q(z) и М(z) в каждом сечении балки, нахождение по ним максимальных по модулю нормальных - s, касательных - t и эквивалентных - s_экв напряжений в соответствующих точках балки и сравнение названных напряжений с допускаемыми.

Методические указания к выполнению проверки прочности балки и пример расчета приведены в подразделах 4.2 и 4.3.

Методические указания

1. Начертить в удобном масштабе расчетную схему балки, указать на ней числовые значения сил, нагрузок, моментов, длин пролетов, консолей и участков, показать реакции опор, пронумеровать участки.

2. Составить уравнения равновесия балки, определить опорные реакции и нанести их значения на схему.

3. Применить метод сечений при определении поперечных сил Q и изгибающих моментов М, построить эпюры Q и М. При построении эпюр согласно этому методу следует мысленно разрезать балку на две части в пределах каждого участка произвольно намеченным и зафиксированным по длине поперечным сечением. Причем, фиксированная координата по длине балки для данного поперечного сечения может отсчитываться от общего начала координат слева и справа балки или отдельно в пределах каждого участка.

Отбросить одну часть, например, правую. Заменить ее действие на левую искомыми внутренними усилиями Q и М. Найти эти усилия из уравнений равновесия системы сил, приложенных к левой части, включая и сами Q и М.

Поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил.

Изгибающий момент М в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно центра тяжести сечения.

Поперечная сила в сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа – сверху вниз, и отрицательной – если направлена в противоположные стороны.

Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным – выпуклостью вверх.

Записать аналитические выражения для поперечной силы Q(z) и изгибающего момента М(z) для каждого участка балки и вычислить значения Q(z) и М(z) на границах каждого участка. Если зависимость для изгибающего момента на участке криволинейна, а поперечная сила на границах этого участка имеет разный знак, то следует определить координату z на этом участке, где поперечная сила равна нулю, и для этой точки вычислить экстремальное значение изгибающего момента.

По полученным значениям построить графики – эпюры Q(z) и М(z).

4. Используя дифференциальные зависимости при изгибе:

(4.2.1)

проверить правильность построения обеих эпюр.

5. Подобрать из условия прочности балки по нормальным напряжениям двутавровое сечение по моменту сопротивления W_х:

(4.2.2)

Выписать из сортамента геометрические характеристики сечения W_x, Jх – осевой момент инерции, S_x – статический момент полусечения, s – толщина стенки, b и t – ширина и толщина полки двутавра.

6. Определить максимальные нормальные напряжения по формуле:

(4.2.3)

и построить эпюру s в сечении балки.

7. Проверить прочность балки по касательным напряжениям:

(4.2.4)

и построить эпюру касательных напряжений t в стенке двутавра, рассчитав их в точках перехода к полке по формуле:

(4.2.5)

8. Проверить прочность балки по III теории прочности:

(4.2.6)

Так как расчетное напряжение зависит от s и t, то проверке подлежит тот элемент материала балки, для которых s и t будут одновременно возможно большими и это осуществимо при наличии таких двух условий:

а) изгибающий момент и поперечная сила достигают наибольшей величины в одном и том же сечении по длине балки;

б) ширина резко меняется вблизи краев сечения (например, в двутавре или пустотелом прямоугольном профиле). Нормальные и касательные напряжения на уровне перехода от полки к стенке (в точках «к» см. рис.8) для таких профилей имеют величину, близкую максимальной.

Указанные два условия, таким образом, определяют и необходимость дополнительной проверки прочности, а также сечение и точку на нем, для которых эта проверка должна быть сделана.

Если эти условия не имеют места, тогда следует выбрать несколько поперечных сечений по длине балки и несколько точек по высоте сечения, могущих дать наиболее высокие значения расчетного напряжения.

Для двутаврового сечения:

 

(4.2.7)

(4.2.8)

Значения М и Q в формулах (7) и (8) берутся для одного выбранного сечения.

Рис. 8

Пример расчета

Для двутавровой балки (рис. 9а)

Построить эпюры Q и М.

Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение балки, если [s] = 160 МПа.

Построить эпюру s в стенке двутавра.

Проверить прочность балки по касательным напряжениям, если [t] = 100 МПа.

Построить эпюру t в сечении балки.

Проверить прочность балки по III теории прочности.

Исходные данные:

С = 1 м; а = 2 м; b = 3 м; = 5 м; q₁ = 20 кНм; q₂ = 40 кНм; М = 100 кНм; Р₁ = 40 кН; Р₂ = 50 кН; [σ ] = 160 МПа; [ τ ] = 100 МПа.

Определение опорных реакций

кН;

кН

Проверка:

 

 

Рис. 9

 

2. Построение эпюры поперечных сил Q

При кН; При кН;

При кН; При кН;

При кН; При кН;

Эпюра Q показана на рис. 9б.

3. Построение эпюры М изгибающих моментов

При кНм; При кНм;

Найдем экстремум изгибающего момента:

Отсюда

м;

При кНм; При кНм;

При кНм;

При z = 0 M₃ = 0; При z = 1 M₃ = –70 кНм;

По полученным значениям ординат на участках построена эпюра М (рис. 9в).

1. Из условия прочности по нормальным напряжениям произведем подбор сечения балки.

Из сортамента выбираем двутавр № 36 с W_х = 743 см³; Jх = 13380 см⁴; b = 14,5 см; S_х = 423 см³; t = 1,23 см; S = 0,75 см.

2. Определим максимальные нормальные напряжения по формуле:

Эпюра нормальных напряжений в сечении показана на рис. 9г. Поскольку максимальный изгибающий момент отрицательный, то верхние волокна растянуты, а нижние сжаты.

3. Проверим прочность балки по касательным напряжениям. Из рис. 9б видно, что максимальная поперечная сила на опоре В. Поэтому проверку по касательным напряжениям проведем при Q_max = 102 кН.

= 43 МПа <[τ] = 100 МПа.

τ_max = 43 МПа <[τ] = 100 МПа.

Определим касательные напряжения в точке К – точке перехода от стенке к полке двутавра.

32 МПа

Эпюра касательных напряжений в стенке двутавра приведена на рис. 9г.

Проверка прочности балки по третьей теории прочности.

С использованием построенных эпюр Q и М определяем, что опасным сечением будет сечение на опоре А, где М = 100 кН×м; Q = 98 кН.

В опасном сечении в точке перехода от полки к стенке двутавра определим нормальные и касательные напряжения.

σ = = = 126 МПа;

τ = = = 30 МПа;

σ_экв = = 140 МПа.

 

Поперечном изгибе

Общие пояснения

Перемещения в балках оцениваются прогибом центра тяжести поперечного сечения балки v_к и углом поворота сечения Q_к вокруг оси перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через центр тяжести сечения.

Достаточно большое число способов определения перемещений в балках можно разделить на две группы. К первой группе относятся способы нахождения аналитических функций перемещений путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки . Ко второй группе относятся энергетические способы нахождения перемещений в заданных точках, например, путем вычисления интеграла Максвелла-Мора где M⁰(z) – изгибающий момент от единичной обобщенной силы, приложенной к точке, где определяются соответствующие перемещения.

Далее в подразделе 5.2. даны методические указания для определения перемещений наиболее продуктивным методом первой группы – методом начальных параметров, и второй группы – способом А.К.Верещагина для вычисления интеграла Максвелла-Мора.

В подразделе 5.3. приведен пример расчета перемещений балки двумя упомянутыми методами.

Методические указания

1. При определении углов поворота и прогибов сечений балки методом начальных параметров применяются универсальные уравнения в виде:

(5.2.1)

(5.2.2)

Здесь Θ₀ и u₀ – угол поворота и прогиб сечения в начале координат;

М, Р, q – соответственно сосредоточенные моменты, силы и равномерно распределенные нагрузки, приложенные к балке;

Z – расстояние от начала координат до рассматриваемого сечения, угол поворота u¢ и прогиб u которого определяется;

а, в, с – расстояние от начала координат до точки приложения соответственно М, Р, q.

Эти уравнения можно применять на любом участке балки, при этом в каждом частном случае в уравнение войдут те члены, которые соответствуют нагрузкам, расположенным между началом координат (в крайней левой точке балки) и заданным сечением.

Если направление действия нагрузок будет отвечать отрицательному изгибающему моменту, то знаки перед соответствующими членами меняются с плюса на минус.

Постоянные EJ_xu₀ и EJ_хΘ₀ определяются из условий опорных закреплений балки. Если распределенная нагрузка q не доходит до заданного сечения в пределах данного участка, то необходимо эту нагрузку продолжить до конца данного участка и одновременно ввести компенсирующую нагрузку другого знака заданной интенсивности на той же части балки.

Интегрирование уравнения

(5.2.3)

производить без раскрытия скобок.

2. Применить формулу Верещагина при вычисления углов поворота и прогибов сечений балки интегралом Мора:

(5.2.4)

где d – обобщенное перемещение поперечного сечения (угол поворота или прогиб);

w_pi – площади эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки.

– ординаты эпюр изгибающих моментов от единичных сил Р_i= 1 или от единичных моментов М_i= 1, приложенных в сечениях, где вычисляем прогиб или угол поворота, под центром тяжести площадей w_pi.

Площади простых фигур и координаты центров тяжести этих площадей приведены в таблице 1.

Площади w_i и ординаты берутся со своими знаками. Знак плюс в ответе означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной нагрузки или единичного момента, знак минус – наоборот.

3. Строить изогнутую ось балки (упругую линию) следует по вычисленным значениям прогибов и углов поворота сечений. Упругая балка обращена выпуклостью вниз там, где изгибающий момент положительный, и выпуклостью вверх там, где М – отрицательный. Нулевым точкам эпюры М соответствуют точки перегиба упругой линии.

Пример расчета

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Подобрать по сортаменту двутавровое сечение балки из условия прочности по нормальным напря