Описание численного метода решения СЛАУ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

«Автоматизация инженерных задач»

 

Выполнил: студент 1 курса заочного отделения инженерного факультета

Степанов В.Ю.

Зачет. Книж №11778

Проверил: Зав. каф.

Чертова М.Н.

 

Великие Луки - 2012

Содержание

Введение. 4

2.Описание численного метода решения СЛАУ.. 4

2.1.Общяя характеристика методов. 4

2.2.Метод Крамера в решении СЛАУ.. 4

3.Прикладное ПО применяемое для решения СЛАУ.. 4

4.Практическое применение MS Excel 4

4.1.Постановка задачи. 4

4.2.1.Традиционный способ решения СЛАУ

4.2.2.Решение СЛАУ с помощью MS Excel 4

Заключение. 4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 4

 

 

 

Введение

Многие инженерные задачи требуют решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). С появлением ВТ в математике активно развивается направление, связанное с реализацией методов решения таких задач с помощью ЭВМ, которое называют вычислительной математикой. Для решения инженерных задач на ЭВМ с использованием численных методов чаще всего применяются готовые программы обеспечения, например, MathCAD, MS Excel и другие.

Линейные системы имеют в вычислениях очень большое зна­чение, так как к ним сводится приближенное решение широкого круга вычислительных задач вообще и инженерных задач в ча­стности. Теория решения линейных систем достаточно хорошо разработана и во многих частях доведена до совершенства. Име­ется большое число разнообразных программных средств для ре­шения самых различных систем уравнений, в том числе плохо обусловленных, блочных, с разреженными матрицами и т.д.

Целью курсовой работы являются приобретение навыков автоматизации инженерных расчетов в табличном процессоре MS Excel.

Задачами курсовой работы являются:

1. Решить систему алгебраических уравнения методом Крамера традиционным способом.

2. Использовать MS Excel в решении системы алгебраических уравнений.

 

Описание численного метода решения СЛАУ

 

Общяя характеристика методов

 

Методы решения линейных систем уравнений обычно разде­ляют на две большие группы. К первой группе относят методы, которые принято называть точными. Они позволяют для любых систем в принципе найти точные значения неизвестных после ко­нечного числа арифметических операций, каждая из которых вы­полняется точно.

Ко второй группе относят все методы, не являющиеся точны­ми. Их обычно называют приближенными итерационными, ре­шения в них получают в результате бесконечного процесса при­ближений. Особое место среди них (нередко их даже выделяют в отдельную группу) занимают вероятностные методы, в основу которых положены соображения, взятые из теории вероятностей. Такие методы полезны лишь в случаях очень высокой размерно­сти систем и более упоминаться, не будут.

В общем виде линейная система уравнений записывается сле­дующим образом:

или чаще — в матричном виде: ах-В, где а — квадратная мат­рица размером n x n, B и x — векторы размером n (n — размер­ность системы).

 

ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ

Точные методы обычно рассматриваются в курсах линейной алгебры, поэтому здесь упомянем коротко основные особенности самых распространенных методов для сопоставления с итераци­онными, которые обычно изучаются в курсах прикладной мате­матики.

Метод Гаусса сводится к двум этапам. На первом осущест­вляется приведение исходной системы уравнений с помощью преобразований к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей (т.е. приведение системы к треугольному виду). Преоб­разования сводятся к умножению всех членов уравнения на по­стоянное число, сложению уравнений, выражению отдельных пе­ременных через другие и т.п. Это прямой ход. На втором этапе, т.е. в обратном ходе (снизу вверх), находятся последовательно все переменные системы. В отдельных случаях, в частности при умножении всех членов уравнения на очень большое число (или при делении на очень маленькое), появляются большие вычисли­тельные ошибки, которые обусловливают значительные погреш­ности результатов решения.

Более практичным является метод оптимального исключе­ния, представляющий собой видоизменение метода Гаусса и требующий меньше памяти для решения. Здесь обратный ход соединен с прямым ходом за счет исключения всех уже выражен­ных переменных из вышестоящих уравнений.

Упомянем также метод Крамера (с использованием опреде­лителей), который требует очень больших вычислений уже при прямом решении систем из пяти—десяти уравнений, приведения матрицы А к форме произведения двух треугольных матриц, что позволяет свести решение заданной системы к последовательно­му решению двух систем с треугольными матрицами, что являет­ся задачей более простой. Поэтому вычисления определителей для матриц высокого порядка осуществляются обычно приближенными методами, и метод Крамера перестает быть в полном смысле точным.

Во всех методах этой группы может появляться накапливаю­щаяся вычислительная ошибка (не алгоритмическая!). Для ее контроля (а не для управления ею!) применяют специальные приемы. Например, в методе Гаусса к каждой строке добавляют еще один член, который равен сумме всех коэффициентов строки. С этим членом делают те же операции, что и с коэффициентами уравнения. На каждом шаге проверяют равенство суммы коэффи­циентов и “контрольного" добавленного члена: разница говорит о появлении накопившейся вычислительной погрешности. Можно оценивать не только абсолютную, но и относительную ошибку в равенстве суммы коэффициентов и “контрольного” добавленного члена. Таким образом, точные методы могут давать результат с погрешностью, которой трудно управлять и которая в ряде случа­ев может оказаться значительной, например, при высоких поряд­ках системы.

В заключение отметим, что системы с плохо обусловленными матрицами коэффициентов нецелесообразно решать указанными методами вследствие возможности появления очень больших ошибок.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

Эти методы дают возможность найти решение системы как предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построить следую­щее, более точное приближение. Важной чертой таких методов является их самоисправляемость и простота реализации. Если в точных методах ошибка в вычислениях, когда она не компенси­руется случайно другими ошибками, неизбежно ведет к ошибкам в результате, то в случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то приближении исправляется в последующих вычислениях, и такое исправление требует только нескольких лишних шагов единообразных вычислений.

Условия и скорость сходимости каждого итерационного про­цесса существенно зависят от свойств уравнении, т.е. от свойств матрицы системы и от выбора начальных приближений.

 

ЗАПУСК ПРОГРАММЫ EXCEL

Запустить программу для создания, просмотра и работы в электронной таблице можно несколькими способами. Стандартным запуском можно считать следующие действия:

1. Щелкните на кнопке Пуск в левом нижнем углу панели задач.

2. Раскройте меню Программы.

3. В раскрывшемся меню выберите пункт Microsoft Excel.

 

Если пользователь часто обращается к Microsoft Excel, то он, обычно, выносит его в виде ярлыка на Рабочий стол. Тогда запуск, электронной таблицы на выполнение, сводится только к установке курсора на этот ярлык, щелкнув на нем левой клавишей мышки.

 

РАБОТА С ФОРМУЛАМИ

 

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

Числовая обработка внесенных данных в электронную таблицу (ЭТ)¾ одна из главных задач Excel. ЭТ позволяет находить сумму рада чисел, производить вычитание, нахождение процента от общей суммы, строить различного вида графики и т.д.. Однако Excel позволяет производить вычисления по 320-ти функциям. Так, например, по названию товара, из прейскуранта, автоматически возвращается его стоимость и пересылается в указанную ячейку.

При создании, прежде всего, своих формул необходимо помнить ряд правил:

¨ Формулы начинаются со знака равенства (=).

¨ В формулу может входить до 1024-х символов (вряд ли Вам, когда либо, придется руководствоваться этим правилом, но надо помнить о нем!).

¨ Результат вычисления отображается в указанной ячейке, а формула, по которой производилось вычисление, в строке формул.

Как Вы уже успели заметить, необходимо при составлении формул знать фактически не три, а два правила. При необходимости внесения в формулу ссылки на некоторую ячейку легче и, главное, надежнее вводить ее имя не с клавиатуры (возможны ошибки!), а установить курсор мышки на необходимую ячейку и нажать левую клавишу мышки ¾ имя ячейки автоматически введется в формулу.

 

КОПИРОВАНИЕ ФОРМУЛ

 

Вы, наверное, при составлении формул уже убедились в том, что их составление достаточно трудоемкий процесс, даже при использовании мышки, при добавлении в нее ссылок на ячейки. А если таких формул, в процессе вычислений, потребуется несколько? Затраты времени, на их создание, будут возрастать пропорционально их числу. Где же выход? Копирование ¾ вот эффективный выход из создавшегося положения.

Для копирования формулы методом Автозаполнения можно использовать маркер заполнения (этот метод был описан в первой главе). При этом автоматически осуществляется последовательность создания, под вычисляемые строки (столбцы), формул. При копировании формул необходимо учитывать понятия относительных и абсолютных адресов ячеек. При необходимости копирования формулы в другую ячейку или группу ячеек (в этом случае Автозаполнение не годится), можно воспользоваться буфером обмена.

Относительные адреса ячеек появляются при копировании формул с автоматическим преобразованием ссылок на вычисление столбцов или строк таблицы. Так, например, в ячейке F7 записывается сумма строки «Покупка» (ячейки – В7 и С7), а при копировании этой формулы в ячейку F9, строка «Продажа», автоматически вычисляется сумма ячеек В9 и С9 с последующей записью результата в ячейку F9. То есть, имена ячеек В7 и С7, в написанной ранее формуле, автоматически заменились на В9 и С9

Но, иногда, необходимо зафиксировать один из адресов ячейки, тогда запись исходной формулы принимает вид, например:

=СУММ(А1:А4)*$А$5

Здесь, $А$5 – фиксированное имя ячейки, так, при переходе на колонку с именем В, формула автоматически преобразуется в:

=СУММ(В1:В4)*$А$5

При такой записи имени ячейки, с использованием знака «доллар» ($), называется ¾ абсолютным адресом ячейки.

 

Функция – это уже готовая сложная формула, по которой проводятся операции вычисления над группой данных определенного типа. Функции задаются с помощью формул, которые выполняют вычисления по заданным величинам, называемым аргументами, и в указанном порядке, называемом синтаксисом. Например, функция СУММ складывает значения или группы ячеек, а функция ППЛАТ вычисляет величину выплаты за один период годовой ренты на основе постоянных выплат и постоянной процентной ставки. Функцию можно вводить в ячейку самостоятельно или при помощи Мастера функций.

• Мастер функций позволяет использовать весь набор функций Excel, даже если вы точно не знаете их названия. Все функции организованы в группы (или категории), такие как Financial (Финансовые), Statistical (Статистические) и др. Мастер функций выводит краткое описание каждой функции, благодаря которому вы сможете выбрать нужную функцию. Кроме того, мастер функций помогает вводить аргументы функции и поясняет, для чего они нужны. При использовании мастера функций практически исключаются ошибки при записи формул в ячейки, кроме того, так удобнее вводить сложные функции с несколькими аргументами.

Для того, чтобы воспользоваться мастером функций необходимо:

1. Выделите ячейку, в которую нужно поместить функцию, и нажмите кнопку Вставка функции на стандартной панели инструментов.

2. В списке Категории функций открывшегося окна диалога укажите нужную категорию функции.

3. Выберите нужную вам функцию в списке Имя функции. В нижней части окна диалога появится описание выбранной функции. Прочитайте его и убедитесь, что функция выбрана правильно. Щелкните на кнопке ОК.

4. Под строкой формул появится окно — так называемая палитра формул. Введите аргументы в соответствующие поля. Вы можете вводить значения или адреса ячеек вручную, а можете щелкать на нужных ячейках или выделять нужные диапазоны.

5. Щелкните на кнопке ОК, чтобы завершить ввод функции. Результат вычисления функции появится в ячейке.

 

ФАКТР(число)

Число - это неотрицательное число, факториал которого вычисляется. Если число не целое, то производится отбрасывание дробной части.

 

МОПРЕД - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

МОПРЕД(массив)

Массив - это числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Массив может быть задан как интервал ячеек, например, A1:C3 или как массив констант, например {1;2;3:4;5;6:7;8;9}.

 

КОРЕНЬ - возвращает положительное значение квадратного корня.

КОРЕНЬ(число)

Число - это число, для которого вычисляется квадратный корень. Если число отрицательно, то функция КОРЕНЬ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

ABS - возвращает модуль (абсолютную величину) числа. Абсолютная величина числа - это число без знака.

ABS(число)

Число - это действительное число, абсолютную величину которого требуется найти.

ПИ - возвращает число 3,14159265358979, математическую константу p с точностью до 15 цифр.

 

Постановка задачи

Задача. Решить систему уравнений традиционным способом и с помощью MS Excel.

 

1. Запишите исходную матрицу системы:

 

 

Слева от разделительной линии стоят коэффициенты при неизвестных, а справа стоят свободные члены.

2. Найдите определитель основной матрицы:

 

∆= =3 -(-2) +4 =-55

Так как ∆ не равно 0, то система имеет единственное решение.

3. Найдём определитель дополнительных матриц, которые получаются из основной путём замены элементов одного из трёх столбцов основной матрицы элементами матрицы свободных членов b_i.

 

 

∆₁= =9 -(-2) +4 =55

 

 

∆₂= =3 -9 +4 =-110

∆₃= =3 -(-2) +9 =-220

 

4. Найдём решения системы алгебраических уравнений:

 

x₁ = = =-1

 

x₂ = = =2

 

x₂ = = =4

 

Заключение

 

Ещё совсем недавно основными инструментами инженера были калькулятор и чертёжная доска. Расчёты занимали немало рабочего времени. Например, большинство инженерных расчётов проводятся в нескольких приближениях, т.е. один и тот же алгоритм вычислений повторяется несколько раз, но каждый раз с новыми, уточнёнными данными. Инженер вынужден был повторять на калькуляторе вычислительные операции каждого приближения снова и снова. Выполнение чертежей также было нелегким занятием. За кульманом (большая чертёжная доска с закреплённой на ней рейсшиной) как правило, работали стоя, что приводило к возникновению профессиональных болезней. Так как чертежи выполнялись при помощи карандашей различной твёрдости или туши, то неосторожное движение рукой приводило к появлению на чертежах грязных разводов и смазанных линий. В современных условиях рыночной экономики, такой подход, несомненно, не позволит предприятию быть конкурентоспособным и получать прибыль. При размещении заказа на выполнение проектных работ одним из основных критериев является минимальное время выполнения проекта. Автоматизация инженерной работы (расчётов, выполнения чертежей и текстовых документов) позволяет сократить время выполнения проекта в несколько раз. Для этого требуется оборудовать место работы инженера персональным компьютером и установить на него соответствующее программное обеспечение.

В данной работе был рассмотрен метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

В работе была рассмотрена теоретическая часть, из которой выводятся различные формулы для реализации данного метода.

Автоматизация решения СЛАУ методом Крамера была выполнена с помощью табличного процессора MS Excel.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. А. В. Голышева, В. Н. Корнеев. Excel 2007 без воды. 2008 г.

2. Ю. В. Васильков, Н. М. Василькова. Компьютерные технологии вычислений. 2002 г.

3. В. В. Трофимова. Информатика. 2011 г.

4. Н. А. Лизунова, С. П. Шкроба. Матрицы и системы линейных уравнений. 2007 г.

5. Е. А. Веденеева. Функции и формулы Excel 2007. 2008 г.

6. А. Г. Днепров. Excel 2007 видеосамоучитель. 2008 г.

 

7. И. Киреев, А. В. Пантелеев. Численные методы в примерах и задачах.

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

«Автоматизация инженерных задач»

 

Выполнил: студент 1 курса заочного отделения инженерного факультета

Степанов В.Ю.

Зачет. Книж №11778

Проверил: Зав. каф.

Чертова М.Н.

 

Великие Луки - 2012

Содержание

Введение. 4

2.Описание численного метода решения СЛАУ.. 4

2.1.Общяя характеристика методов. 4

2.2.Метод Крамера в решении СЛАУ.. 4

3.Прикладное ПО применяемое для решения СЛАУ.. 4

4.Практическое применение MS Excel 4

4.1.Постановка задачи. 4

4.2.1.Традиционный способ решения СЛАУ

4.2.2.Решение СЛАУ с помощью MS Excel 4

Заключение. 4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 4

 

 

 

Введение

Многие инженерные задачи требуют решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). С появлением ВТ в математике активно развивается направление, связанное с реализацией методов решения таких задач с помощью ЭВМ, которое называют вычислительной математикой. Для решения инженерных задач на ЭВМ с использованием численных методов чаще всего применяются готовые программы обеспечения, например, MathCAD, MS Excel и другие.

Линейные системы имеют в вычислениях очень большое зна­чение, так как к ним сводится приближенное решение широкого круга вычислительных задач вообще и инженерных задач в ча­стности. Теория решения линейных систем достаточно хорошо разработана и во многих частях доведена до совершенства. Име­ется большое число разнообразных программных средств для ре­шения самых различных систем уравнений, в том числе плохо обусловленных, блочных, с разреженными матрицами и т.д.

Целью курсовой работы являются приобретение навыков автоматизации инженерных расчетов в табличном процессоре MS Excel.

Задачами курсовой работы являются:

1. Решить систему алгебраических уравнения методом Крамера традиционным способом.

2. Использовать MS Excel в решении системы алгебраических уравнений.

 

Описание численного метода решения СЛАУ