Гармонические колебания. Основные характеристики колебательного процесса. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называется движение, происходящее по закону синуса (или косинуса):

,

,

где — мгновенное значение колеблющейся величины в момент времени , — амплитуда колебаний, равная наибольшему значению , — фаза колебания, определяющая мгновенное значение колеблющейся величины, — круговая частота колебаний, — начальная фаза колебаний. Время, в течение которого совершается одно полное колебание, называется периодом колебания . Легко показать, что

.

Величина называется частотой колебания. Единица измерения частоты в СИ — 1 герц=1с^-1. Выбор синуса или косинуса связан с удобством при рассмотрении конкретной задачи. Всегда можно изменить одну функцию на другую, изменив фазу на . Результат при этом не изменится.

Выведем дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Возьмем, например

и продифференцируем величину по времени два раза:

,

.

Из последнего уравнения получаем

.

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является ранее приведенные формулы для . При этом величины амплитуды и начальной фазы должны быть заданы отдельно.

Простейший пример гармонических колебаний получается при рассмотрении движения шарика, жестко связанного с невесомой пружиной. При этом считается, что трения нет. Пусть — длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины , то возникает сила , стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях справедлив закон Гука . Тогда уравнение движения тела имеет вид

.

Если положить , то уравнение превратится в

,

то есть в уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения представимо в виде , где и — любые. Отсюда также следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой

и периодом

.

Период колебаний не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронностью колебаний, выполняется, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука не выполняется и появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

 

Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями

, .

Подставляем сюда зависимость от времени и получаем

, .

Учитывая формулу для частоты, получаем

.

То есть механическая энергия в этом случае сохраняется.

 

Пружинный маятник. Энергия маятника.

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

 

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

 

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

 

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

 

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

 

Физический маятник.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной оси. Точка пересечения ее с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника. Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия . Момент силы тяжести , приложенной к центру масс выражается формулой

,

где расстояние от центра масс до точки подвеса. Уравнение вращательного движения маятника выглядит так

,

где — момент инерции маятника относительно оси . Правая часть уравнения нелинейна относительна угла и решать его трудно. Однако, если угол мал , то и мы получаем уравнение гармонического колебания величины

.

Отсюда частота колебаний физического маятника равна

и период

.

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Тогда , , где — длина маятника и период равен

.