Властивості відкритих і замкнених множин

1. Для того щоб множина була відкритою необхідно і достатньо, щоб доповнення (доповнення до ) було замкнуто.

Доведення. Необхідність. Нехай множина відкрита і припустимо, що не містить граничну точку . Тоді і отже існує окіл такий, що , а це означає, що не містить не одної точки множини . Отже не є граничною множини , а це суперечить припущенню.

Достатність. Нехай множина замкнена і точка . Тоді існує окіл цієї точки, що не містить не одної точки множини , тому що у протилежному випадку точка була би граничною точкою множини і належала би . Отже окіл , тобто множина відкрита, що і треба було довести.

2. Об’єднання будь-якої сім’ї відкритих множин є множина відкрита.

Доведення. Нехай . Тоді і існує окіл точки такий, що . Отже множина відкрита.

3. Перетин будь-якої сім’ї замкнутих множин є множина замкнута.

Доведення. Внаслідок співвідношень двоїстості і властивостей 1 і 2 множина відкрита, отже (властивість 1) замкнена.

4. Перетин скінченного набора відкритих множин є множина відкрита.

Доведення. Нехай . Тоді для кожної множини знайдеться окіл . Покладемо . Очевидно, що для будь-якого : і .

5. Об’єднання скінченного набора замкнених множин є множина замкнена.

Доведення. В силу співвідношень двоїстості і властивостей 1 і 4 множина відкрита, отже (властивість 1) замкнена.

Покажемо на прикладах, що умова скінченнності у властивостей 3,4 не зайва.

Приклад 1. Нехай . Тоді множина і не відкрита і не замкнена.

Приклад 2. Нехай . Тоді множина і не відкрита і не замкнена.

 

Нехай є довільної, обмеженою знизу, замкненою множиною з простору і . Внаслідок означення точної нижньої межі для будь-якого натурального числа знайдеться елемент такий, що . Якщо серед елементів існує нескінченна множини різних, то точка є граничною точкою множини і належить . В протилежному випадку існує число таке, що для всіх елементи , отже . Аналогічно, якщо є довільної, обмеженою зверху, замкненою множиною з простору і , то .

Якщо є довільної, обмеженою, замкненою множиною з простору , то , а сегмент називається найменшим сегментом, що містить замкнену множину .

Теорема 2.1.3 (Структура відкритої обмеженої множина з простору ). Будь-яка відкрита обмежена множина є об’єднання скінченної або зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів , кінці яких не належать множині . Інтервали називаються складовими інтервалами множини .

Доведення. Нехай . Так як множина обмежена, то множина обмежена знизу і замкнена. Тому належить , а півінтервал належить . Аналогічно множина обмежена зверху і замкнена. Тому належить , а півінтервал належить . Отже інтервал належить , а кінці його не належать . Інтервал називається складовим. Покажемо, що два довільних складових інтервалів не перетинаються. Припустимо, що знайшлись два інтервала і , що мають спільну точку , і нехай . Тоді точка і через те належить множині , а це суперечить тому, що інтервал складовий.

Покажемо, що складових інтервалів не більш ніж зчисленна множина. Для цього виберемо по раціональній точці з кожного інтервала. Оскільки інтервали не перетинаються, то ці точки різні і тому утворюють деяку підмножину множини раціональних чисел. Таким чином установлена взаємно однозначна відповідність між множиною складових інтервалів множини і множиною . Оскільки множина не більш ніж зчисленна, то і множина складових інтервалів множини не більш ніж зчисленна.

Теорема доведена.

Теорема 2.1.4 (Структура замкненої обмеженої множина з простору ). Будь-яка замкнена обмежена множина є або сегментом , або одержується з найменшого сегмента , що містить замкнену множину , вилученням скінченної або зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів , кінці яких належать множині . Інтервали називаються доповняльними множини .

Доведення. Якщо є сегмент, то все очевидно. Нехай . Розглянемо . Очевидно, що . Оскільки точки , то . Отже множина є відкритою і за теоремою 2.1.3 ії можно зобразити у вигляді не більш ніж зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів. Тоді .

Теорема доведена.

Із означень досконалої множини і ізольованої точки внаслідок теореми 2.1.4 очевидно випливає наступне твердження.

Теорема 2.1.5 Для того щоб замкнена обмежена множина була досконалою необхідно і досить, щоб точки не були кінцями інтервалів і будь-які доповняльні інтервали не мали спільних кінців.