Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Множини потужності континуумуСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Теорема 1.4.1 (Кантор). Множина точок сегмента не є зчисленною. Доведення. Припустимо, що це ні так, тобто сегмент - зчисленна множина: = . Поділимо сегмент на три частини рівної довжини: , і і позначимо через той з них, що не містить елемент (якщо таких сегментів два, беремо будь-який з них). Поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . І так далі, якщо вибрано сегмент , поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . Тепер зауважимо, що і довжина сегмента дорівнює 1/ . Отже, внаслідок відомої теореми про вкладені сегменти, довжини яких прямують до нуля, існує елемент спільний всім сегментам , тобто . З іншого боку існує таке, що . Але, завдяки вибору сегментів , елемент . Одержана суперечність доводить теорему. Означення 1.4.1. Множина А має потужність континууму, або потужність с, якщо А ~ . Приклади множин потужності континууму. 1. Тому що ~ , сегмент має потужність континууму. 2. Будь-який сегмент має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і . 3. Будь-який інтервал , будь-який півінтервал або має потужність континууму. Дійсно, завдяки властивості 4 потужності, вилучення одного або двох елементів з нескінченної множини не міняє потужності. 4. Множина - всіх дійсних чисел має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і . 5. Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континууму, тому що множину можливо зобразити як різницю між множиною і множиною всіх раціональних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності. 6. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континууму, оскільки цю множину можливо зобразити як різницю між множиною і зчисленною множиною усіх алгебраїчних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності. 7. Множина - всіх додатних чисел має потужність континууму, тому що функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і . 8. Очевидно, що піввісь має потужність с.
Властивості множин потужності континууму. 1. Об’єднання скінченної множини множин потужності континууму, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності континууму. Доведення. Розглянемо півінтервали Вони попарно не мають спільних елементів і ~ Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, ~ . Властивість доведена. 2. Об’єднання зчисленної множини множин потужності, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності с. Доведення. Розглянемо півінтервали . Вони попарно не мають спільних елементів і ~ . Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, ~ . Властивість доведена. 3. Об’єднання не більш ніж зчисленної множини множин потужності континууму є множиною потужності континууму. Доведення. Розглянемо випадок зчисленої множини множин . Нехай взаємно однозначна відповідність множини на півінтервал , і . Множини попарно не мають спільних елементів і . Оскільки , то завдяки властивості 4 еквівалентних множин, ~ . З іншого боку . За теоремою Кантора-Бернштейна . Властивість доведена. Двійкові дроби. Означення 1.4.2. Двійковим дробом називається сума ряду , де або 1. Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці тому, що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Отже кожному двійковому дробу відповідає число – сума ряду . Двійковий дріб будемо зображати символом і також називати двійковим дробом. Двійковий дріб виду , де , називається двійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де m непарне число менше за . Двійково-раціональне число крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення . Теорема 1.4.2. Кожному числу з інтервала (0; 1), що не є двійково-раціональним числом, відповідає єдиний двійковий дріб. Доведення. Нехай і не є двійково-раціональним числом. Необхідно побудувати для будь-якого і довести, що частинна сума ряду прямує до числа . Визначимо спочатку число . Якщо , покладемо . Тоді і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Припустимо, що визначені числа , такі, що . Знову розглянемо два випадки. Якщо , то покладемо . і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Число не може дорівнювати , тому що не є двійково-раціональним числом. Слід, в силу принципу математичної індукції, визначено для будь-якого натурального і . З останній нерівності випливає . Теорема доведена. Означення 1.4.3. Нехай множина всіх двійкових дробів, множина усіх двійкових дробів, зображення яких містить нескінченну множину чисел , що дорівнюють 0, множина всіх двійкових дробів, зображення яких містить одиницю в періоді. В силу теореми 1.4.2 має потужність континуум, а множина зчисленна, тому що вона нескінченна і є підмножиною множини раціональних чисел. Отже - множина потужності континууму.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 309; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.146.221.231 (0.007 с.) |