Множини потужності континууму

Теорема 1.4.1 (Кантор). Множина точок сегмента не є зчисленною.

Доведення. Припустимо, що це ні так, тобто сегмент - зчисленна множина: = . Поділимо сегмент на три частини рівної довжини: , і і позначимо через той з них, що не містить елемент (якщо таких сегментів два, беремо будь-який з них). Поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . І так далі, якщо вибрано сегмент , поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . Тепер зауважимо, що і довжина сегмента дорівнює 1/ . Отже, внаслідок відомої теореми про вкладені сегменти, довжини яких прямують до нуля, існує елемент спільний всім сегментам , тобто . З іншого боку існує таке, що . Але, завдяки вибору сегментів , елемент . Одержана суперечність доводить теорему.

Означення 1.4.1. Множина А має потужність континууму, або потужність с, якщо А ~ .

Приклади множин потужності континууму.

1. Тому що ~ , сегмент має потужність континууму.

2. Будь-який сегмент має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

3. Будь-який інтервал , будь-який півінтервал або має потужність континууму. Дійсно, завдяки властивості 4 потужності, вилучення одного або двох елементів з нескінченної множини не міняє потужності.

4. Множина - всіх дійсних чисел має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

5. Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континууму, тому що множину можливо зобразити як різницю між множиною і множиною всіх раціональних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

6. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континууму, оскільки цю множину можливо зобразити як різницю між множиною і зчисленною множиною усіх алгебраїчних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

7. Множина - всіх додатних чисел має потужність континууму, тому що функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

8. Очевидно, що піввісь має потужність с.

 

Властивості множин потужності континууму.

1. Об’єднання скінченної множини множин потужності континууму, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності континууму.

Доведення. Розглянемо півінтервали Вони попарно не мають спільних елементів і ~ Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, ~ . Властивість доведена.

2. Об’єднання зчисленної множини множин потужності, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності с.

Доведення. Розглянемо півінтервали . Вони попарно не мають спільних елементів і ~ . Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, ~ . Властивість доведена.

3. Об’єднання не більш ніж зчисленної множини множин потужності континууму є множиною потужності континууму.

Доведення. Розглянемо випадок зчисленої множини множин . Нехай взаємно однозначна відповідність множини на півінтервал , і . Множини попарно не мають спільних елементів і . Оскільки , то завдяки властивості 4 еквівалентних множин, ~ . З іншого боку . За теоремою Кантора-Бернштейна . Властивість доведена.

Двійкові дроби.

Означення 1.4.2. Двійковим дробом називається сума ряду , де або 1.

Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці тому, що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Отже кожному двійковому дробу відповідає число – сума ряду . Двійковий дріб будемо зображати символом і також називати двійковим дробом. Двійковий дріб виду , де , називається двійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де m непарне число менше за . Двійково-раціональне число крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення .

Теорема 1.4.2. Кожному числу з інтервала (0; 1), що не є двійково-раціональним числом, відповідає єдиний двійковий дріб.

Доведення. Нехай і не є двійково-раціональним числом. Необхідно побудувати для будь-якого і довести, що частинна сума ряду прямує до числа . Визначимо спочатку число . Якщо , покладемо . Тоді і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Припустимо, що визначені числа , такі, що . Знову розглянемо два випадки. Якщо , то покладемо . і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Число не може дорівнювати , тому що не є двійково-раціональним числом. Слід, в силу принципу математичної індукції, визначено для будь-якого натурального і . З останній нерівності випливає .

Теорема доведена.

Означення 1.4.3. Нехай множина всіх двійкових дробів, множина усіх двійкових дробів, зображення яких містить нескінченну множину чисел , що дорівнюють 0, множина всіх двійкових дробів, зображення яких містить одиницю в періоді.

В силу теореми 1.4.2 має потужність континуум, а множина зчисленна, тому що вона нескінченна і є підмножиною множини раціональних чисел. Отже - множина потужності континууму.