Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Зчислені множини та їх властивостіСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Означення 1.3.1. Множини А називається зчисленною, або множиною зчисленної потужності, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел . Зчисленну потужність множини будемо позначати літерою . Тобто запис означає, що множини А зчисленна. Теорема 1.3.1 (Критерій зчисленості множини). Щоб множина А була зчисленною, необхідно і досить, щоб її можно було зображити у вигляді послідовності: Доведення. Необхідність. Нехай ~ . Елемент множини , що відповідає натуральному числу позначимо через . Тим самим визначено загальний член послідовності. Отже: Достатність. Нехай де всі елементи послідовності різні. Кожному елементу поставимо у відповідність його номер . Оскільки різні елементи мають різні номери і кожне натуральне число відповідає елементу , то множина ~ . Загальні властивості потужності множин. 1. Будь яка нескінченна множина А має потужність не меншу зчисленної потужності, тобто . Доведення. Виберемо будь який елемент в множині А і позначимо його через . Оскільки різниця теж нескінченна, виберемо із неї будь який елемент і позначимо його через . Припустимо, що вже вибрано елементи , , …, . Різниця - нескінченна. Тому із неї можливо вибрати елемент , де m - довільне натуральне число. Отже з множини А виділина підмножина зчисленної потужності. А це означає, що . 2. Об’єднання зчисленної множини і скінченної множини еквівалентно множині А, отже - зчисленна множина. Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини , а потім будемо виписувати елементи множини А, пропускаючи ті елементи, що належать також множині . Множина буде зображена у вигляді послідовності, отже вона скінченна. 3. Об’єднання нескінченної множини А і скінченної або зчисленної множини В еквівалентно множині А. Доведення. Виділимо з множини зчислену підмножину і нехай D – різниця множин і А. Тоді і . Оскільки ~ і ~ , то внаслідок властивості 3 еквівалентних множин ~ . 4. Якщо різниця множини і скінченної або зчисленної множини В – нескінченна, то різниця А \ В еквівалентна множині А. Доведення. Перетин скінченна або зчисленна множина. Отже, за попередньої властивістю внаслідок рівності одержимо властивість 4. 5. Об’єднання зчисленної множини скінченних множин - зчисленна або скінченна множина. Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини , а потім будемо виписувати елементи множин , пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. Множина буде зображена у вигляді рядка або послідовності, отже вона скінченна або зчисленна. 6. Об’єднання скінченної множини зчисленних множин - зчисленна множина. Доведення. Кожну множину зобразимо у виглядіпослідовності , а потім будемо виписувати елементи множин в рядок спочатку з нижнім індексом равним одиниці, потім равним 2 і так далі, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. 7. Об’єднання зчисленної множини зчисленних множин - зчисленна множина. Доведення. Множину зобразимо у виглядіпослідовності . Першим в рядок поставимо елемент , а потім запишемо елементи у яких сума верхнього і нижнього індексів дорівнює трьом, чотирьом і так далі. При цьому будемо виписувати елементи множин , пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. Множина буде зображена у вигляді послідовності, отже вона зчисленна. 8. Якщо елементи множини А визначаються m значками, тобто , кожен з яких приймає зчисленну кількість значень , то А - зчисленна. Доведення. Застосуємо метод математично індукції. Якщо елементи множини визначаються одним значком, значення якого , то множину А можливо зобразити у вигляді . Отже А - зчисленна. Нехай властивість 8 має місце для k індексів (). Розглянемо множину і її підмножину елементів, у яких k+1індекс має фіксоване довільне значення . В силу припущення, кожна множина - зчисленна, а тоді зчисленна множина А тому, що . Отже, за принципом математичної індукції властивість 8 має місце для будь якого m. Приклади зчисленних множин. 1. Множина - усіх натуральних чисел зчисленна, тому що ~ . 2. Будь-яка нескінченна підмножина натуральних чисел зчисленна, тому що її можливо зобразити у вигляді . 3. Множина усіх додатних раціональних чисел зчисленна. можливо зобразити у вигляді = , де - множина раціональних чисел вигляду . Оскільки кожна множина - зчисленна, то завдяки властивості 7 множина є зчисленною. 4. Множина усіх від’ємних раціональних чисел зчисленна, оскільки . 5. Множина усіх раціональних чисел зчисленна, завдяки тому, що 6. Множина A={ -усіх точек к-вимірного евклідового простору , координати яких раціональні числа, - зчисленна. Дійсно елементи множини A визначаються значками (координатами точки), кожен з яких приймає зчисленну множину значень. Отже, внаслідок властивості 8, множина A - зчисленна. 7. Множина всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище n з раціональними коефіцієнтами зчисленна. Дійсно кожен елемент множини визначається раціональними коефіцієнтами: . Отже, завдяки властивості 8, множина - зчисленна. 8. Множина всіх алгебраїчних многочленів з раціональними коефіцієнтами зчисленна. Множину можливо зобразити у вигляді . Тому, завдяки властивості 7, множина - зчисленна. 9. Множина всіх алгебраїчних чисел - зчисленна. Позначимо через множину алгебраїчних чисел, що відповідають алгебраїчному многочлену з раціональними коефіцієнтами, тобто множину розв’язків рівняння = 0. Множина для кожного многочлена має не більше n елементів. Оскільки , то внаслідок властивості 5, - скінченна або зчисленна. Але множина не може бути скінченною, бо вона містить усі раціональні числа.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 647; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.95.229 (0.007 с.) |