Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку

1. Довільна скінченна функція на множині міри нуль інтегровна і .

Доведення. На підставі теореми 5.1.1 існує послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Так як інтеграли від простих функцій по множені міри нуль рівні нулю, то, в силу означення 5.2.2, .

2. Довільна вимірна і обмежена на множині функція інтегровна і , якщо .

Доведення. На підставі теореми 5.1.1 існує послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції , тобто . Із нерівності випливає інтегровність простих функцій (тому функція інтегровна) і оцінка:

.

3. Якщо функція інтегровна за Лебегом на множині , то вона інтегровна на будь-якій вимірній підмножині .

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Але тоді ця послідовність функцій рівномірно збігається і на підмножині до функції і функції інтегровні на підмножині . Отже функція інтегровна за Лебегом на .

4. Якщо функція інтегровна за Лебегом на множині , то для будь-якого числа lÎ інтегровна за Лебегом функція l і

.

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Але тоді послідовність функцій рівномірно збігається і на множині до функції . Отже функція інтегровна за Лебегом на множені і

.

5. Якщо функції і інтегровні за Лебегом на множині , то сума + інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції і існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Тоді послідовність простих інтегровних функцій рівномірно збігається на множені до функції + і

.

6. Якщо на множині для вимірної функції і інтегрованої функції виконується нерівність £ , то функція інтегровна за Лебегом і

. (5.2.1)

Доведення. На підставі теореми 5.1.1 існує послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції , тобто . Із нерівності випливає

, . (5.2.2)

За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції , тобто . Із нерівності випливає

. (5.2.3)

Із нерівностей (5.2.2) - (5.2.3) і умови £ одержимо

.

Отже прості функції інтегровні на множені і

.

Спрямувавши , одержимо (5.2.1).

Наслідок 5.2.1 Для того щоб вимірна функція була інтегровна за Лебегом на множині , необхідно і досить, щоб була інтегровна функція .

Дійсно, якщо функція інтегровна за Лебегом на множині , то існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Тоді із нерівності (5.8) випливає, що послідовність простих інтегровних функцій рівномірно збігається на множені до функції . Отже інтегровна.

Якщо функція інтегровна на множині , то для функцій і виконуються умови властивості 6. Отже функція інтегровна на множині .

7. Адитивність інтеграла Лебега. Нехай функція інтегровна за Лебегом на множені і деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин . Тоді

(5.2.4)

і, якщо справа маємо ряд, то він збігається абсолютно.

Доведення. На підставі означення інтегрованості функції для довільного числа знайдеться проста інтегровна функція така, що . Для функції виконується рівність (5.2.4) (см. властивість 10) і ряд в (5.2.4) збігається абсолютно. Тоді, використовуючи рівність (5.2.4) для функції і властивість 2, одержимо

.

Завдяки довільності одержимо . Абсолютна збіжність ряду (5.2.4) випливає з нерівностей:

.

8. Нехай деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин і функція інтегровна за Лебегом на кожній множені . Якщо збігається ряд

,

то функція інтегровна за Лебегом на множені .

Доведення. На підставі означення інтегрованості функції на кожній множені для довільного числа знайдеться проста інтегровна на кожній множені функція така, що . Тоді

.

На підставі властивості 11 інтеграла від простої функції, функція інтегровна за Лебегом на множені , тоді і функція інтегровна за Лебегом на множені .

9. Абсолютна неперервність інтеграла Лебега. Нехай функція інтегровна за Лебегом на множені . Тоді для довільного числа знайдеться таке, що для довільної вимірної підмножини , міра якої , виконується нерівність

.

Доведення. Розглянемо спочатку випадок обмеженої функції: . Візьмемо довільне і покладемо . На підставі властивості 2 для довільної вимірної підмножини , міра якої , маємо

.

Нехай тепер не обмежена. Визначимо множини , де довільне натуральне число. В силу адитивності інтеграла Лебега

.

Знайдемо натуральне число таке, що , позначимо через і покладемо . Тоді і на підставі властивості 2 і вибору числа , для довільної вимірної підмножини , міра якої , маємо

.

 

10. Нерівність Чебишева. Для довільної інтегрованої на множині функції і довільного числа має місце нерівність

.

Доведення. На підставі адитивності інтеграла Лебега маємо

 

.

Наслідок 5.2.2. (Наслідок з нерівності Чебишева). Якщо для інтегрованої на множині функції має місце рівність

то =0 майже скрізь.

Доведення. Застосуємо нерівність Чебишева для константи , де довільне натуральне число

і зобразимо множину у вигляді

.

Так як кожна множина має міру нуль, то і міра об’єднання дорівнює нулю.

11. Інтеграли Лебега від еквівалентних функцій. Якщо функції і еквівалентні, то

Доведення. Розглянемо різницю інтегралів і використовуємо адитивність інтеграла і рівність нулю інтеграла Лебега по будь-якій множині міри нуль:

Одержана властивість показує, що якщо у скінченної інтегрованої функції змінити її значення на множені міри нуль, то вона залишиться інтегровною і значення інтеграла не зміниться. Це означає, що можливо нехтувати значенням скінченної інтегрованої функції на множені міри нуль. Узагальнимо поняття інтегралу Лебега на випадок функцій, які можуть приймати нескінченні значення на множені міри нудь, так щоб остання властивість збереглася.

Означення 5.2.3. Вимірнаі майже скрізь скінченна на множині функція називається інтегровною за Лебегом, якщо функція інтегровна на множені .

Очевидно, що усі властивості інтеграла Лебега для функцій, що приймають скінченні значення, мають місце і для майже скрізь скінченних.