Поняття множини, операції над множинами

 

Означення 1.1.1. Множиною називається сукупність, набір, сім’я, збори, колекція предметів, вибраних по деякому правилу (закону), або просто указаних; при цьому усі предмети різні. Предмети, із яких складається множина називаються елементами.

Множини будемо позначати прописними латинськими буквами, а елементи – малими літерами. Якщо елемент a належить множині A, то це будимо записувати так: а Î А.

Приклади.

1. множина усіх натуральних чисел, множина всіх цілих чисел, множина всіх дійсних чисел, множина всіх раціональних чисел.

2. Сегмент множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , інтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову .

3. множина усіх функцій заданих і неперервних на сегменті , множина всіх функцій заданих і обмежених на сегменті .

 

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, то будемо казати, що множина А міститься в множині В, або множина В містить множину А і позначати це будемо так: А Ì В, або В É А. Будемо також казати, що множина А є підмножиною множини В. Наприклад, , .

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і навпаки кожен елемент множини В є елементом множини А, то множини рівні: А = В. Отже, щоб довести, що множини А і В рівні треба показати, що А Ì В і В Ì А.

Означення 1.1.2. Нехай задана деяка сім’я множин: . Множина всіх елементів, що належать хоч би однієї із множин даної сім’ї, називається об’єднанням множин і позначається об’єднання так .

Якщо маємо дві множини А і В, то їх об’єднання позначимо через . Якщо множин n штук: , то позначення їх об’єднання буде , або .

Означення 1.1.3. Перетином множин сім’я називається множина всіх спільних елементів множин даної сім’ї.

Позначення перетину: перетин сім’ї множин - , перетин двох множин - , перетин n множин - , або . Якщо множини не мають спільних елементів, то будемо казати, що їх перетин – порожня множина. Порожню множину будемо позначати символом Æ. Порожня множина може бути не тільки результатом перетину. Наприклад: множина дійсних розв’язків рівняння – порожня множина.

Означення 1.1.4. Різницею множини А і В називається множина усіх елементів множини А, що не належать множині В. Різниця множин А і В позначається таким чином: А \ В.

Означення 1.1.5. Симетричною різницею множини А і В називається множина . Різниця позначається так: .

Означення 1.1.6. Якщо множина В є підмножиною множини А, то різниця множин А і В називається доповнення множини В до множини А. Доповнення множини В до множини А позначається символом .

Властивості об’єднання, перетину і доповнення множин (властивості двоїстості).

Теорема 1.1.1 (Співвідношення двоїстості). Нехай кожна із множини міститься в множині А. Тоді мають місце рівності:

Доведення. Нехай тобто і , отже для кожного і . Навпаки, нехай , тоді і для кожного . Отже і . Друга рівність доводиться аналогічно.

Задачі.

1. Довести, що .

2. Довести, що .

3. Довести, що .

4. Довести, що .

5. Довести, що тоді і тільки тоді, коли .

6. Довести, що .

7. Довести, що .

8. Довести, що

9. Довести, що .

10. Довести, що , якщо і множини не перетинаються.

11. Довести, що .

12. Довести, що .

13. Верхня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать нескінченної системи множин .

14. Нижня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать усім множинам за виключенням скінченної кількості.

 

1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності

Означення 1.2.1. Правило або закон, по якому кожному елементу а множини А ставиться у відповідність один елемент b множини В, називається функцією обо відображенням множини А в В.

Функція звичайно позначається літерою латинського або грецького алфавіту, наприклад, і писати : , або , при цьому елемент називається образом елементу , а елемент прообразом елемент . Множина називається образом множини і позначається символом . Якщо при перетворенні кожен елемент є образом деякого елементу то кажуть, що перетворює А на В і це позначають так , або . Множина називається прообразом множини і позначається символом .

Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».

Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення множини А на В, яке різним елементам множини А ставить у відповідність різні елементи множини В.

В цьому випадку прообраз кожної одно елементної множини є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною відповідністю. Відображення і називаються взаємно оберненими.

 

Задачі.

1. Нехай , і . Доведіть наступні співвідношення:

,

,

.

2. Нехай , і . Доведіть наступні співвідношення:

,

,

.

 

Означення 1.2.3. Якщо для множин А і В можливо указати взаємно однозначну відповідність, то множини А і В називається еквівалентними. Еквівалентність множин А і В позначається символом: А ~ В.

Властивості еквівалентних множин:

1. А ~ А.

2. Якщо А ~ В, то В ~ А.

Ця властивість називається транзитивністю.

3. Якщо множини попарно не перетинаються, множини теж попарно не перетинаються і для будь якого ~ , то

~ .

4. Нехай А ~ В, - деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то . Якщо -довільна підмножина множини А, то .

5. Якщо А ~ В, -довільні підмножини множини А, такі що , - деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то і

З останньої рівності випливає що , якщо , тобто ~ . Дійсно, і Отже .

6. Теорема 1.2.1 (Теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина множини еквівалентна множині , а підмножина множини еквівалентна множині . Тоді .

Перед доведенням теореми Кантора-Бернштейна розглянемо лему, яка цікава сама по собі.

Лема 1. 2.1. Якщо і . Тоді .

Доведення. Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . З умови леми і означення множин випливає їх монотонність: . Дійсно, для , це умова леми. Припустимо, що , якщо . Тоді , тобто .

Далі, внаслідок властивості 5 еквівалентних множин,

і в загальному випадку:

Нехай . Оскільки , то

(1.1.1)

і

. (1.1.2)

Тепер зауважимо, що і доданки у правих частинах рівностей (1.1.1) - (1.1.2) попарно не перетинаються. Окрім того . Отже, внаслідок властивості 3 еквівалентних множин, .