Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Граничний перехід у класі вимірних функційСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Теорема 4.1.2 Границя послідовності вимірних функцій , що збігається у кожній точки множина ,- вимірна.
Доведення. Для будь-яких натуральних чисел , і довільного числа розглянемо вимірну множину . Теорема буде доведена, якщо одержимо рівність . Нехай елемент , тобто . Знайдемо натуральне число таке, що , а потім, використовуючи властивості границі, знайдемо таке натуральне число , починаючи з якого . Тоді елемент і отже належить правої частини. Навпаки, якщо елемент , то знайдуться натуральні числа і такі, що , тобто до усіх . Переходячи в останній нерівності до границі, коли , дістанемо і отже . Рівність множин установлена і теорема доведена. Означення 4.1.3. Деяка обставина (твердження, властивість, умова) має місце майже скрізь на множині , якщо вона має місце для усіх елементів множини , окрім елементів підмножини , міра якої дорівнює нулю. Означення 4.1.4. Функції і , задані і вимірні на множині , називаються еквівалентними, якщо вони майже скрізь збігаються на множені , тобто . Еквівалентність функцій і будемо позначати символом ~ . Означення 4.1.5. Функція називається майже скрізь скінченною, якщо . Означення 4.1.6. Послідовність вимірних на множині функцій збігається майже скрізь до функції , якщо вона збігається у всіх точках множини , крім точок підмножини , міра якої дорівнює нулю. Теорема 4.1.3 (Узагальнення теореми 4.1.2) Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то - вимірна. Доведення. Нехай підмножина тих елементів множини , де функції і приймають нескінченні значення і послідовність функцій не збігається до . За умовою теореми підмножина має міру нудь, отже на підставі властивості 1, вимірна на . У кожній точки вимірній множині послідовність скінченних вимірних функцій збігається до скінченної функції , отже є вимірною і на множені . Завдяки властивості 4 функція вимірна на . Означення 4.1.7. Послідовність вимірних на множині функцій збігається за мірою до функції , якщо для будь-якого міра множини прямує до нуля, коли . При цьому у множину включаються і ті елементи, у яких і приймають нескінченні значення. Теорема 4.1.4 (Теорема Лебега). Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то збігається на множині до за мірою. Доведення. Нехай підмножина тих елементів множини , де функції і приймають нескінченні значення і послідовність функцій не збігається до . За умовою теореми підмножина має міру нудь. Визначимо наступні множини і . Множин вимірні, . Тому, на підставі властивості 12 вимірних множин, . Покажемо, що . Нехай елемент . Тоді в точці послідовність збігається до , отже для будь-якого знайдеться число таке, що для усіх має місце нерівність . Отже елемент не належить множині , і тим паче перетину . Оскільки , то і . Тому , коли , але першим доданком об’єднання, що визначає , є множина , отже , коли . Теорема доведена.
Теорема 4.1.5 Існують послідовності вимірних функцій , що збігається за мірою до , але не збігається ні в одній точки до жодної функції. Доведення. До кожного натурального розіб’ємо півінтервал на неперетинних півінтервалів і визначимо групу з функцій: Функції прості і тому вимірні на півінтервалі . Запишемо функції в рядок так, щоб функції з більшим верхнім індексом (з однієї групи) слідували за функцією з меншим індексом. Цю послідовність позначимо символом . Очевидно, що , де Послідовність функцій збігається за мірою до . Дійсно, для будь-якого . Нехай довільна точка з півінтервалу . До кожного натурального знайдеться індекс такий, що . Тоді , а всі інші функції з цієї групи в точці приймають значення нуль. Тому послідовність функцій не збігається ні в одній точці з півінтервалу .
Теорема 4.1.6 (Теорема Рісса). Якщо послідовність вимірних функцій збігається за мірою на множині до , то із неї можливо вилучити підпослідовність , що збігається майже скрізь на множині до . Доведення. Нехай монотонна послідовність невід’ємних чисел прямує до нуля, а послідовність невід’ємних чисел така, що ряд збігається. Знайдемо натуральне число таке, що . Це можливо тому, що прямує до нуля, коли . За тією ж причиною знайдеться натуральне число таке, що і . Припустимо, що визначені числа . Знайдемо натуральне число таке, що і . Покажемо, що підпослідовність шукана. Для цього визначимо наступні множини і . Множин вимірні, . Тому, на підставі властивості 12 вимірних множин, . Завдяки вибору послідовності чисел і оскільки ряд збігається, то , отже . Тепер доведемо, що у кожній точці множини послідовність збігається до . Нехай , тоді і отже знайдеться натуральне число таке, що , тобто для усіх елемент . Отже для усіх . Оскільки прямує до нуля, то збігається до . Теорема доведена. Теорема 4.1.7 (Теорема Єгорова). Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то для будь-якого існує вимірна множина така, що 1) . 2) На множині послідовність функцій збігається рівномірно до функції . Доведення. Нехай . При доведенні теореми Лебега було установлено, що для будь-якого : , коли . Нехай монотонна послідовність невід’ємних чисел прямує до нуля, а послідовність невід’ємних чисел така, що ряд збігається. Для кожного натурального числа знайдемо натуральне число таке, що . Для будь-якого знайдемо натуральне число таке, що і покладемо . На підставі наслідку 5 із властивості 8 вимірних множин , отже . Візьмемо довільне додатне число e і знайдемо таке натуральне число , що і . Це можливо тому, що , коли . Нехай , тоді і отже . Внаслідок означення множини для усіх буде виконуватися нерівність . Оскільки число не залежить від , то на множині послідовність функцій збігається рівномірно до функції . Теорема доведена.
ГЛАВА Y Інтеграл Лебега
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 209; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.122.125 (0.009 с.) |