Канторова відкрита множина, канторова досконала множина

Трійковим дробом називається сума ряду , де або 1, або 2. Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці, тому що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Трійковий дріб будемо зображати символом і також називати трійковим дробом. Трійковий дріб виду , де , називається трійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де ціле число менше за . Трійково-раціональне число , де , крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення (запис (2) («2 в періоді») означає, що усі якщо ). Має місце наступне твердження.

Теорема 2.1.6 Будь-яке число можливо зобразити трійковим дробом. При цьому зображення єдине, якщо не є трійково-раціональним числом.

Доведення теореми 2.1.6 аналогічне доведенню теореми 1.4.2.

 

Далі розглянемо наступні інтервали. Нехай є інтервал (0,1; 0,1(2)) і для кожного k= 1,2,… розглянемо інтервалів де або 2. Довжина кожного з них дорівнює . Очевидно, що інтервали можливо зобразити у вигляду .

 

Лема 2.1.1. Різним наборам чисел відповідають різні інтервали . Крім того вони не перетинаються, не мають спільних кінців і, очевидно, що точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів.

Дійсно, нехай , де і довільні. Покажемо, що лівий кінець інтервала більше правого

кінця інтервалу :

Із означень інтервалів випливає, що точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів.

Арифметична характеристика чисел, які належать інтервалам .

Лема 2.1.2. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб число в трійковому запису мало вигляд , де або 2, а довільні і хоча б одно з них не дорівнює нулю і хоча б одно з них не дорівнює 2.

Достатність. Нехай число в трійковому запису має вигляд , де або 2, а довільні і хоча б одно з них не дорівнює нулю і хоча б одно з них не дорівнює 2. Тоді:

.

Необхідність. Якщо , то повинно бути більше за лівий кінець інтервалу , тобто , де хоча б одна з цифр не дорівнює нулю (тому що у протилежному випадку збігається з лівим кінцем інтервалу і отже не належить йому), а з іншого боку повинно бути менше за правий кінець інтервалу , тобто , де хоча б одна з цифр не дорівнює двом, тому що у протилежному випадку збігається з правим кінцем інтервалу і тому не належить йому. Лему доведено.

 

Побудова Канторових множин.

 

Поступимо наступним чином: вилучимо з сегмента спочатку інтервал , потім два інтервалу , на му кроці вилучимо інтервалів . Об’єднання усіх інтервалів називається Канторовою відкритою множиною і позначається через , а доповнення множини до сегмента називається Канторовою досконалою множиною і позначається через . За лемою 2.1.2 Канторова відкрита множина це множина усіх чисел з сегмента , трійковий запис яких неможливий без цифри 1. Наприклад, число (в трійковому запису) 0,1 має також вигляд 0,0(2), а тому воно не належить множині . Канторова досконала множина дійсно досконала тому, що одержується з сегмента вилученням зчисленної множина інтервалів , що не мають спільних кінців і точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів. З арифметичної характеристики множини випливає, що Канторова досконала множина це множина усіх чисел сегмента , трійковий запис яких містить тільки цифри 0 і 2, тобто це множина усіх трійкових дробів вигляду , де або 2, отже це множина потужності континууму. Обчислимо суму довжин вилучених інтервалів: Спочатку вилучається інтервал , довжина якого дорівнює , потім два інтервала, довжина кожного з яких дорівнює , на му кроці вилучається інтервалів , довжина кожного з яких дорівнює . Отже, сума довжин вилучених інтервалів дорівнює

 

Означення 2.1.5 Сім’я відкритих множин називається покриттям множини , якщо

Лема 2.1.3. (Гейне-Бореля). Із будь-якого покриття замкненої обмеженої множини відкритими множинами можна виділити скінченнне покриття.

Доведення. Припустимо, що лема не має місце. Так як множина обмежена, то знайдеться сегмент , що містить множину . Нехай . Тоді хоча б для одної з замкнених множин або не існує скінченнного покриття. Позначимо цю множину, або одну з них, якщо їх дві, через , а сегмент, в якому вона міститься через . Очевидно, що і довжина сегмента у два рази менша довжини сегмент : =1/2 . Нехай побудована послідовність вкладених сегментів таких, що для множин неможливо вилучити скінченнне покриття, , а також = . Нехай . Тоді хоча б для одної з замкнених множин або не існує скінченнного покриття. Позначимо цю множину, або одну з них, якщо їх дві, через , а сегмент, в якому вона міститься через .

Внаслідок принципу математичної індукції існують послідовність вкладених сегментів , довжини яких прямують до нуля, і послідовність вкладених замкнених множин , таких, що для кожної з них неможливо вилучити скінченнне покриття.

За теоремою про послідовніть вкладених сегментів існує єдина спільна точка . Тоді точка є граничною точкою замкненої множини і, отже належить до неї. Нехай - відкрита множина з даного покриття, що містить точку , і . Якщо таке, що , то усі сегменти за умовою, що . Отже всі множини покриваються відкритою множиною за умовою, що , а це суперечить властивостям множин . Одержана суперечність спростовує припущення. Лема доведена.

 

 

Зауваження. Лема Гейне-Бореля має місце і в просторі .

ГЛАВА III

 

МІРА ЛЕБЕГА ОБМЕЖЕНИХ МНОЖИН У