Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Порівняння інтегралів Рімана і Лебега↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 14 Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Нехай обмежена функція, визначена на сегменті , тобто , (5.4.1) і - послідовність наборів точок сегменту таких, що . Покладемо , і визначимо дві послідовності простих функцій: , . Із означення функцій , і (5.4.1) випливає . (5.4.2) Отже, функції , - прості і обмежені і слід інтегровні за Лебегом: , , де відповідно нижня і верхня суми Дарбу функції . Оскільки при умові виконуються нерівності , то послідовність функцій не спадає, а послідовність функцій не зростає. Отже для послідовностей функцій і виконуються умови теореми Леві, за якою існують майже скрізь границі і , функції і інтегровні за Лебегом на сегменті і , (5.4.3) . (5.4.4) Окрім того, із нерівностей (5.4.2) випливає, що для функцій і мають місце нерівності . (5.4.5) Із (5.4.3) – (5.4.5) одержимо . (5.4.6) Теорема 5.4.1 Для того щоб функція була інтегровною за Ріманом необхідно і досить, щоб майже скрізь на сегменті для будь-якої послідовності такої, що , коли і в цьому випадку функція інтегровна за Лебегом і інтеграл Рімана збігається з інтегралом Лебега: . Достатність. Нехай . Тоді, внаслідок (5.4.6), інтеграл в (5.4.6) дорівнює нулю і . Отже функція інтегровна за Ріманом. Необхідність. Нехай функція інтегровна за Ріманом. Тоді для будь-якої послідовності такої, що , права частина в (5.4.6) дорівнює нулю. На підставі наслідку 5.2.2 (з нерівності Чебишева) різниця майже скрізь дорівнює нулю. А тоді із нерівностей (5.4.5) випливає еквівалентність функції функціям і . Отже, функція інтегровна за Лебегом і, в силу (5.4.3) або (5.4.4), інтеграл Рімана збігається з інтегралом Лебега.
Теорема 5.4.2 (Теорема Лебега). Для того щоб обмежена функція була інтегровною за Ріманом на сегменті , необхідно і досить, щоб була майже скрізь неперервною на сегменті . Достатність. Нехай майже скрізь неперервна на сегменті і множина точок розриву. Візьмемо будь-яку послідовність точок розбиття таку, що і нехай . Множина зчисленна, тому має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці має місце рівність . Візьмемо довільне число . Внаслідок неперервності функції в точці існує таке, що , якщо . Оскільки , то знайдеться натуральне число таке, що для усіх сегменти , що містять точку , будуть міститься в інтервалі . Тоді, для усіх різниця - , тобто майже скрізь. За теоремою 5.4.1 функція інтегровна за Ріманом. Необхідність. Нехай функція інтегровна за Ріманом. За теоремою 5.4.1 і, в силу (5.4.5), майже скрізь. Позначимо через множину точок сегмента , де . Візьмемо будь-яку послідовність точок розбиття сегмента таку, що і нехай . Множина має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці функція неперервна. Візьмемо довільне число . В силу збіжності послідовностей функцій і відповідно до функцій і знайдеться натуральне число таке, що для усіх виконуються нерівності , із яких випливає нерівність (5.4.7) Візьмемо сегмент , що містить точку . Оскільки не є точкою розбиття, то знайдеться інтервал , що міститься у сегменті . Із означення функцій , і нерівності (5.4.7) маємо для будь-якого . Теорема доведена.
5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри Означення 5.5.1. Нехай вимірна множина нескінченної міри, наприклад, множина усіх дійсних чисел , або проміні . Послідовність вимірних обмежених множин називається вичерпною, якщо вона монотонно зростає, тобто , і . Означення 5.5.2. Вимірна функція , що задана на вимірній множині нескінченної міри, називається інтегровною за Лебегом на множині , якщо для довільної вичерпної послідовності множин існує скінченна границя , (5.5.1) яка не залежить від вибору послідовності множин . Інтегралом від функції називається (5.5.2) Покажемо, що границя (5.5.2) існує і скінченна, якщо виконується (5.5.1). Нехай , тоді , коли . Теорема 5.5.1. Якщо існує невласний інтеграл Рімана від функції , що задана на осі, або проміні, то існує інтеграл Лебега і вони збігаються. Доведення. Розглянемо випадок, коли функція визначена на осі, інший випадок аналогічний. Нехай існує невласний інтеграл Рімана і довільна вичерпна послідовність множин. Для довільного числа знайдеться число таке, що . (5.5.3) Введемо множини . Послідовність множин не спадає і . На підставі властивості 11 вимірних множин . Тоді знайдеться натуральне число таке, що для усіх виконується нерівність , де число , у відповідності з абсолютно неперервністю інтеграла Лебега, вибрано так, для що , міра якої , має місце нерівність . (5.5.4) Із (5.5.3) – (5.5.4) для усіх випливають нерівності . (5.5.5) З іншого боку, нехай Послідовність функцій монотонна, збігається у кожній точці до функції , отже на підставі теореми Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла, маємо (5.5.6) Із нерівностей (5.5.5) – (5.5.6) слідує існування скінченної границі (5.5.1) і рівність . Нехай , де довільна вичерпна послідовність. Очевидно, що існують скінченні границі і тоді . Теорема доведена.
Зауваження 5.5.1. Із доведення теореми 5.5.1 випливає, що в означенні 5.5.2, у випадку інтегрованості функції на осі, або проміні, достатньо брати вичерпну послідовність множин .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 232; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.138.89 (0.006 с.) |