Теорія міри та інтеграла Лебега

ТЕОРІЯ МІРИ ТА ІНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

 

 

ГЛАВА I

ОСНОВИ ТЕОРІЇ МНОЖИН

Поняття множини, операції над множинами

 

Означення 1.1.1. Множиною називається сукупність, набір, сім’я, збори, колекція предметів, вибраних по деякому правилу (закону), або просто указаних; при цьому усі предмети різні. Предмети, із яких складається множина називаються елементами.

Множини будемо позначати прописними латинськими буквами, а елементи – малими літерами. Якщо елемент a належить множині A, то це будимо записувати так: а Î А.

Приклади.

1. множина усіх натуральних чисел, множина всіх цілих чисел, множина всіх дійсних чисел, множина всіх раціональних чисел.

2. Сегмент множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , інтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову .

3. множина усіх функцій заданих і неперервних на сегменті , множина всіх функцій заданих і обмежених на сегменті .

 

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, то будемо казати, що множина А міститься в множині В, або множина В містить множину А і позначати це будемо так: А Ì В, або В É А. Будемо також казати, що множина А є підмножиною множини В. Наприклад, , .

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і навпаки кожен елемент множини В є елементом множини А, то множини рівні: А = В. Отже, щоб довести, що множини А і В рівні треба показати, що А Ì В і В Ì А.

Означення 1.1.2. Нехай задана деяка сім’я множин: . Множина всіх елементів, що належать хоч би однієї із множин даної сім’ї, називається об’єднанням множин і позначається об’єднання так .

Якщо маємо дві множини А і В, то їх об’єднання позначимо через . Якщо множин n штук: , то позначення їх об’єднання буде , або .

Означення 1.1.3. Перетином множин сім’я називається множина всіх спільних елементів множин даної сім’ї.

Позначення перетину: перетин сім’ї множин - , перетин двох множин - , перетин n множин - , або . Якщо множини не мають спільних елементів, то будемо казати, що їх перетин – порожня множина. Порожню множину будемо позначати символом Æ. Порожня множина може бути не тільки результатом перетину. Наприклад: множина дійсних розв’язків рівняння – порожня множина.

Означення 1.1.4. Різницею множини А і В називається множина усіх елементів множини А, що не належать множині В. Різниця множин А і В позначається таким чином: А \ В.

Означення 1.1.5. Симетричною різницею множини А і В називається множина . Різниця позначається так: .

Означення 1.1.6. Якщо множина В є підмножиною множини А, то різниця множин А і В називається доповнення множини В до множини А. Доповнення множини В до множини А позначається символом .

Властивості об’єднання, перетину і доповнення множин (властивості двоїстості).

Теорема 1.1.1 (Співвідношення двоїстості). Нехай кожна із множини міститься в множині А. Тоді мають місце рівності:

Доведення. Нехай тобто і , отже для кожного і . Навпаки, нехай , тоді і для кожного . Отже і . Друга рівність доводиться аналогічно.

Задачі.

1. Довести, що .

2. Довести, що .

3. Довести, що .

4. Довести, що .

5. Довести, що тоді і тільки тоді, коли .

6. Довести, що .

7. Довести, що .

8. Довести, що

9. Довести, що .

10. Довести, що , якщо і множини не перетинаються.

11. Довести, що .

12. Довести, що .

13. Верхня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать нескінченної системи множин .

14. Нижня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать усім множинам за виключенням скінченної кількості.

 

1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності

Означення 1.2.1. Правило або закон, по якому кожному елементу а множини А ставиться у відповідність один елемент b множини В, називається функцією обо відображенням множини А в В.

Функція звичайно позначається літерою латинського або грецького алфавіту, наприклад, і писати : , або , при цьому елемент називається образом елементу , а елемент прообразом елемент . Множина називається образом множини і позначається символом . Якщо при перетворенні кожен елемент є образом деякого елементу то кажуть, що перетворює А на В і це позначають так , або . Множина називається прообразом множини і позначається символом .

Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».

Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення множини А на В, яке різним елементам множини А ставить у відповідність різні елементи множини В.

В цьому випадку прообраз кожної одно елементної множини є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною відповідністю. Відображення і називаються взаємно оберненими.

 

Задачі.

1. Нехай , і . Доведіть наступні співвідношення:

,

,

.

2. Нехай , і . Доведіть наступні співвідношення:

,

,

.

 

Означення 1.2.3. Якщо для множин А і В можливо указати взаємно однозначну відповідність, то множини А і В називається еквівалентними. Еквівалентність множин А і В позначається символом: А ~ В.

Властивості еквівалентних множин:

1. А ~ А.

2. Якщо А ~ В, то В ~ А.

Ця властивість називається транзитивністю.

3. Якщо множини попарно не перетинаються, множини теж попарно не перетинаються і для будь якого ~ , то

~ .

4. Нехай А ~ В, - деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то . Якщо -довільна підмножина множини А, то .

5. Якщо А ~ В, -довільні підмножини множини А, такі що , - деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то і

З останньої рівності випливає що , якщо , тобто ~ . Дійсно, і Отже .

6. Теорема 1.2.1 (Теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина множини еквівалентна множині , а підмножина множини еквівалентна множині . Тоді .

Перед доведенням теореми Кантора-Бернштейна розглянемо лему, яка цікава сама по собі.

Лема 1. 2.1. Якщо і . Тоді .

Доведення. Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . З умови леми і означення множин випливає їх монотонність: . Дійсно, для , це умова леми. Припустимо, що , якщо . Тоді , тобто .

Далі, внаслідок властивості 5 еквівалентних множин,

і в загальному випадку:

Нехай . Оскільки , то

(1.1.1)

і

. (1.1.2)

Тепер зауважимо, що і доданки у правих частинах рівностей (1.1.1) - (1.1.2) попарно не перетинаються. Окрім того . Отже, внаслідок властивості 3 еквівалентних множин, .

Двійкові дроби.

Означення 1.4.2. Двійковим дробом називається сума ряду , де або 1.

Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці тому, що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Отже кожному двійковому дробу відповідає число – сума ряду . Двійковий дріб будемо зображати символом і також називати двійковим дробом. Двійковий дріб виду , де , називається двійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де m непарне число менше за . Двійково-раціональне число крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення .

Теорема 1.4.2. Кожному числу з інтервала (0; 1), що не є двійково-раціональним числом, відповідає єдиний двійковий дріб.

Доведення. Нехай і не є двійково-раціональним числом. Необхідно побудувати для будь-якого і довести, що частинна сума ряду прямує до числа . Визначимо спочатку число . Якщо , покладемо . Тоді і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Припустимо, що визначені числа , такі, що . Знову розглянемо два випадки. Якщо , то покладемо . і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Число не може дорівнювати , тому що не є двійково-раціональним числом. Слід, в силу принципу математичної індукції, визначено для будь-якого натурального і . З останній нерівності випливає .

Теорема доведена.

Означення 1.4.3. Нехай множина всіх двійкових дробів, множина усіх двійкових дробів, зображення яких містить нескінченну множину чисел , що дорівнюють 0, множина всіх двійкових дробів, зображення яких містить одиницю в періоді.

В силу теореми 1.4.2 має потужність континуум, а множина зчисленна, тому що вона нескінченна і є підмножиною множини раціональних чисел. Отже - множина потужності континууму.

Задачі.

1. Довести, що множина всіх підмножин множини натуральних чисел є множиною потужності континууму.

2. Довести, що множина всіх підмножин будь-якої зчисленної множини є множиною потужності континууму.

3. Довести, що множина всіх дійсних функцій, заданих на сегменті , має потужність більшу, ніж континуум.

 

ГЛАВА II

 

ВІДКРИТІ І ЗАМКНЕНІ МНОЖИНИ В

 

Означення 2.1.1 Точка називається граничною точкою множини , якщо у будь-якому околу точки знайдеться хоча б одна точка множина , що відрізняється від точки .

Теорема 2.1.1. Для того щоб точка була граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб у будь-якому околу точки знаходилась нескінченна множина точок з .

Доведення. Достатність очевидна, необхідність доведемо від противного. Нехай точка є граничною точкою множини , і в деякому околу точки знаходиться скінченна множина точок з , що відрізняється від точки . Нехай відстань від точки до і . Тоді в околу радіуса e ні буде не одної точка множини , що відрізняється від точки , а це суперечить тому, що точка гранична. Одержана суперечність спростовує припущення.

 

Теорема 2.1.2. Для того щоб точка була граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб знайшлась послідовність різних точок з множини , що збігається до точки .

Доведення. Достатність очевидна, доведемо необхідність. Нехай точка є граничною точкою множини і послідовність околів радіусу . Виберемо довільну точку в околу , в околу , і так далі виберемо точку , яка відрізняється від попередніх и точки , і так далі. Оскільки , то послідовність точок прямує до .

Зауваження. Гранична точка множини може належати або не належати множині . Наприклад, граничними точками півінтервала є точки сегмента .

Означення 2.1.2 Множина називається замкненою, якщо вона містить усі свої граничні точки. Далі замкнену множину будемо позначати буквою .

Приклади замкнених множин: сегмент , будь-яка скінченна множина, множина усіх натуральних чисел , множина усіх цілих чисел .

Означення 2.1.3 Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо вона належить разом з деяким околом.

Означення 2.1.4 Множина називається відкритою, якщо кожна точка множини внутрішня.

Приклади відкритих множин: інтервал , об'єднання інтервалів.

Означення 2.1.5 Точка називається ізольованою точкою, якщо існує окіл точки , який не містить точок множина , крім точки .

Означення 2.1.6 Замкнена множина називається досконалою, якщо кожна точка множини є граничною точкою цієї множини, тобто у множини немає ізольованих точок.

Побудова Канторових множин.

 

Поступимо наступним чином: вилучимо з сегмента спочатку інтервал , потім два інтервалу , на му кроці вилучимо інтервалів . Об’єднання усіх інтервалів називається Канторовою відкритою множиною і позначається через , а доповнення множини до сегмента називається Канторовою досконалою множиною і позначається через . За лемою 2.1.2 Канторова відкрита множина це множина усіх чисел з сегмента , трійковий запис яких неможливий без цифри 1. Наприклад, число (в трійковому запису) 0,1 має також вигляд 0,0(2), а тому воно не належить множині . Канторова досконала множина дійсно досконала тому, що одержується з сегмента вилученням зчисленної множина інтервалів , що не мають спільних кінців і точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів. З арифметичної характеристики множини випливає, що Канторова досконала множина це множина усіх чисел сегмента , трійковий запис яких містить тільки цифри 0 і 2, тобто це множина усіх трійкових дробів вигляду , де або 2, отже це множина потужності континууму. Обчислимо суму довжин вилучених інтервалів: Спочатку вилучається інтервал , довжина якого дорівнює , потім два інтервала, довжина кожного з яких дорівнює , на му кроці вилучається інтервалів , довжина кожного з яких дорівнює . Отже, сума довжин вилучених інтервалів дорівнює

 

Означення 2.1.5 Сім’я відкритих множин називається покриттям множини , якщо

Лема 2.1.3. (Гейне-Бореля). Із будь-якого покриття замкненої обмеженої множини відкритими множинами можна виділити скінченнне покриття.

Доведення. Припустимо, що лема не має місце. Так як множина обмежена, то знайдеться сегмент , що містить множину . Нехай . Тоді хоча б для одної з замкнених множин або не існує скінченнного покриття. Позначимо цю множину, або одну з них, якщо їх дві, через , а сегмент, в якому вона міститься через . Очевидно, що і довжина сегмента у два рази менша довжини сегмент : =1/2 . Нехай побудована послідовність вкладених сегментів таких, що для множин неможливо вилучити скінченнне покриття, , а також = . Нехай . Тоді хоча б для одної з замкнених множин або не існує скінченнного покриття. Позначимо цю множину, або одну з них, якщо їх дві, через , а сегмент, в якому вона міститься через .

Внаслідок принципу математичної індукції існують послідовність вкладених сегментів , довжини яких прямують до нуля, і послідовність вкладених замкнених множин , таких, що для кожної з них неможливо вилучити скінченнне покриття.

За теоремою про послідовніть вкладених сегментів існує єдина спільна точка . Тоді точка є граничною точкою замкненої множини і, отже належить до неї. Нехай - відкрита множина з даного покриття, що містить точку , і . Якщо таке, що , то усі сегменти за умовою, що . Отже всі множини покриваються відкритою множиною за умовою, що , а це суперечить властивостям множин . Одержана суперечність спростовує припущення. Лема доведена.

 

 

Зауваження. Лема Гейне-Бореля має місце і в просторі .

ГЛАВА III

 

МІРА ЛЕБЕГА ОБМЕЖЕНИХ МНОЖИН У

 

Властивості зовнішній міри.

1. Зовнішня міра невід’ємна.

2. Зовнішня міра елементарної множини збігається з , тобто .

Доведення. Якщо , то в силу властивості 2 міри елементарних множин, і слід . З іншого боку тому, що входить в множину по якої обчислюється точна нижня межа.

 

3. Якщо обмежена множина , то .

Ця властивість випливає з означення зовнішньої міри і називається монотонністю.

4. Якщо обмежена множина , де скінченна, або зчисленна сім’я множин, то .

Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної множини і довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що і . Тоді і

.

Спрямувавши e до нуля, одержимо указану властивість.

 

5. Для будь-яких обмежених множин і має місце нерівність

. (3.3.2)

Доведення. Використовавши співвідношення і попередню властивість, одержимо . Помінявши місцями і одержимо і отже маємо (3.3.2).

Поняття вимірної множини

Означення 3.4.1 Обмежена множина називається вимірною, якщо для довільного числа знайдеться елементарна множина така, що

 

.

Якщо множина вимірна, то її мірою називається . Міра позначається символом і називається мірою Лебега.

 

Із означення вимірної множини випливає, що будь-яка елементарна множина вимірна і у сенсі останнього означення і .

Властивості вимірних множин.

 

1. Якщо множина вимірна, то вимірне доповнення множина до відрізка .

Доведення випливає з рівності

 

.

2. Об’єднання скінченної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.